Matematik

Bevis for rødderne i et andenpolynomie fra diskriminanten

30. maj 2018 af chiladak - Niveau: B-niveau

Hej alle sammen

Jeg skal vise at nulpunkternes x-koordinat kan bestemmes ved

x = -b +- KVADRATROD (d) 2*a

Hvor d = b² -4ac

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2018 af peter lind

se i din bog eller https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. maj 2018 af ringstedLC

FriViden.dk har to videoer om det bevis.

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. maj 2018 af mathon

som begge indeholder $\small \small \textup{KVADRATKOMPLETTERING}$

$\small \textup{Kvadratkomplettering betyder at g\o re komplet kvadratisk}$
$\small \textup{hvilket indeb\ae rer }a^2\mp 2ab+b^2=\left (a\mp b \right )^2$

$\small \textup{For at omskrivningen kan finde sted, skal der v\ae re \textbf{tre} led:}$
$\small \textup{to kvadrattal og det dobbelte produkt af r\o dderne}$
$\small \textup{som for den ene giver:}$

$\small ax^2+bx+c=a(x^2+\tfrac{b}{a}x)+c=a\left (\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )^2+\tfrac{-b^2+4ac}{4a^2} \right )=a\left (\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )^2-\left (\tfrac{\sqrt{d}}{2a} \right )^2 \right )$
$\small \small \textup{hvoraf:}$
$\small \textup{for }{\color{Red} d\geq 0}$
$\small \textup{andengradsligningen:}$
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ax^2+bx+c=a\left (\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )^2-\left (\tfrac{\sqrt{d}}{2a} \right )^2 \right )=a\left (\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )+\left (\tfrac{\sqrt{d}}{2a} \right ) \right )\left (\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )-\left (\tfrac{\sqrt{d}}{2a} \right ) \right ) =0$

$\small \small \textup{for }{\color{Blue} d=0}$
$\small ax^2+bx+c=a\left ( x+\tfrac{b}{2a} \right )^2 =0$

$\small x=\tfrac{-b}{2a}$

$\small \textup{for }{\color{Blue} d>0}$
$\small x=\left\{\begin{matrix} \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\\ \frac{-b+\sqrt{d}}{2a} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. maj 2018 af mathon

$\small \textup{\small \textup{som for den anden giver:}}$

$\small 4a\left (ax^2+bx+c \right )=0$

$\small 4a^2x^2+4abx+4ac =0$

$\small \left( \left ( 2ax \right )^2+2\cdot 2ax\cdot b+b^2 \right )-b^2+4ac =0$

$\small \left ( 2ax \right )^2+2\cdot 2ax\cdot b+b^2 =b^2-4ac$

$\small \left ( 2ax+b \right )^2 =d$
$\small \small \small \textup{for }{\color{Red} d\geq 0}$
$\small \left ( 2ax+b \right )^2 =\sqrt{d}{\, ^2}$

$\small 2ax+b =\mp \sqrt{d}$

$\small 2ax =-b\mp \sqrt{d}$
$\small \small \textup{for }{\color{Blue} d=0}$
$\small 2ax =-b$

$\small x =\tfrac{-b}{2a}$
$\small \textup{for }{\color{Blue} d> 0}$
$\small x =\left\{\begin{matrix} \tfrac{-b- \sqrt{d}}{2a}\\ \tfrac{-b+ \sqrt{d}}{2a} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. maj 2018 af mathon

Det er forudsat at $\small a\neq0$

Skriv et svar til: Bevis for rødderne i et andenpolynomie fra diskriminanten

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.