Matematik

krydsprodukt og areal af parallellogram (vektorer)

17. august 2018 af hejmedjer1239 - Niveau: A-niveau

"Vis at længden af vektorproduktet er lig med arealet af det parallelogram, som ?? og ??? udspænder"

Er der en eller anden bestemt måde jeg skal vise det her på?

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. august 2018 af Eksperimentalfysikeren

Det afhænger af, hvad du har til rådighed. F.eks.: Har du lært, at |a×b| = |a||b|sin(vinklen mellem vektorerne)?

Arealet af et parallellogram med siderne a og b og vinklen v mellem to af nabosiderne er a b sin(v).

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. august 2018 af guuoo2

Hvis formlen i #1 er tilgængelig, så bemærk at den viser at krydsproduktets længde kun afhænger af hver af vektorernes længde, og vinklen mellem vektorerne.

Dvs. længden af krydsproduktet mellem to vilkårlige vektorer kan beregnes som krydsproduktet mellem to andre vektorer med samme længder og vinkel mellem hinanden.

De to vilkårlige (blå) vektorer kan (uden at det påvirker længderne eller vinklen) roteres ind i xy-planet således at den ene vektor er parallel med x-aksen. Dermed opnås de røde vektorer, hvis koordinater har formen (x, 0, 0) og (u, v, 0).

Disse udspænder et parallelogram med grundlinje |x| og højde |v|, dvs.
areal = |x*v|.
Længden af krydsproduktet er
||(x, 0, 0) × (u, v, 0)|| = ||(0, 0, x*v)|| = |x*v|

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
18. august 2018 af mathon

...enklere uden rotation:

$\small \textup{Tegn en skitse af det af }\overrightarrow{a}\textup{ og }\overrightarrow{b}\textup{ udsp\ae ndte parallellogram.}$

$\small \textup{Det ses, at h\o jden }h=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)$

$\small \textup{Arealet af parallellogrammet er:}$
$\small \small A_{par}=h\cdot g=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)\cdot \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{a}\cdot \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)=\left | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right |$

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. august 2018 af mathon

$\small \textup{Det b\o r til\o jes, at \textbf{v} er vinklen mellem vektorerne }\overrightarrow{a}\textup{ og }\overrightarrow{b}.$

Svar #5
18. august 2018 af hejmedjer1239

#3
...enklere uden rotation:

   $\small \textup{Tegn en skitse af det af }\overrightarrow{a}\textup{ og }\overrightarrow{b}\textup{ udsp\ae ndte parallellogram.}$

   $\small \textup{Det ses, at h\o jden }h=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)$

   $\small \textup{Arealet af parallellogrammet er:}$
         $\small \small A_{par}=h\cdot g=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)\cdot \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{a}\cdot \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)=\left | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right |$

Ok. Kan du forklare hvorfor h= b*sin(v)? Altså, hvorfor sin(v)?

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. august 2018 af mathon

$\small \sin(v)=\frac{h}{\left | \overrightarrow{b} \right |}$

$\small h=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)$

Svar #7
19. august 2018 af hejmedjer1239

#5
#3
...enklere uden rotation:

   $\small \textup{Tegn en skitse af det af }\overrightarrow{a}\textup{ og }\overrightarrow{b}\textup{ udsp\ae ndte parallellogram.}$

   $\small \textup{Det ses, at h\o jden }h=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)$

   $\small \textup{Arealet af parallellogrammet er:}$
         $\small \small A_{par}=h\cdot g=\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)\cdot \left | \overrightarrow{a} \right |=\left | \overrightarrow{a}\cdot \right |\left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \sin(v)=\left | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right |$

Ok. Kan du forklare hvorfor h= b*sin(v)? Altså, hvorfor sin(v)?

Super, mange tak.

Kan du fortælle mig hvad der menes når der står "vis". Skal man inddrage beviser eller er det helt ok at bare vise det grafisk?

F.eks. har jeg en opgave (mundtlig eksamen)

"Vis, at når ??(??) = ????????, da er ??´(??) = ???????? samt når ??(??) = ????????, da er ??´(??) = 1+??????2??"

Det kan jeg nemt vise på en enhedscirkel, men er det rigeligt eller skal der også være beviser

(3 trinsreglen)?

Jeg mener at g'(x)=1+tan^2x bliver vist som et bevis når vi siger: tanx=sin(x)/cos(x) og differentiere den som en brøk.

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. august 2018 af mathon

Til en mundtlig eksamen betyder
   • "vis" ofte, at eksaminanden skal vise viden, sammenhængskundskab og anvendelighed.
  • "bevis" ofte, at eksaminanden ud fra et givet udgangspunkt matematisk eksakt skal redegøre for
     en detaljeret sammenhæng.

Ved eksamensbordet betyder det, at eksaminanden både skal kunne "vise" og "bevise" om end der ikke altid i praksis skelnes STORT mellem de to udtryk.

Skriv et svar til: krydsprodukt og areal af parallellogram (vektorer)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.