Matematik

Tangenthældning igennem to forskellige punkter

16. oktober 2018 af Bob1234567891 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej allesammen,

Denne opgave driller mig lidt...

Opgaven: Vi betragter funktionen f(x) = x^3 og punktet P = (a,a^3) hvor a er forskellig fra 0 på grafen for denne funktion. Tangenten til grafen gennem punktet P skærer grafen for f i et andet punkt, som vi kalder Q.

Bestem koordinatsættet for punktet Q, og vis, at tangenten til grafen for f gennem Q har en hældning, der er 4 gange tangenthældningen i punktet P. 

Jeg bestemmer først tangentens ligning gennem P: 

Tangentens ligning: y = f(a) + f'(a) (x-a)

y = a^3 + 3a^2 (x-a)

y = a^3 + 3a^2x - 3a^3

y = 3a^2x - 2a^3

Tangententligningen gennem P kan vi definere som y(x) = 3a^2x - 2a^3

Når vi skal bestemme tangententlinignen gennem Q, kan vi sætte f(x) = y(x) og løse med hensyn til x. 

x^3 = 3a^2x-2a^3 

Vi faktoriserer: (a-x)^2 * (2a+x) = 0

hvoraf det fremgår at x = a og x = -2a

Koordinatsæt til Q er (-2a,f(-2a)) = (-2a, -8a^3)

Tangentens ligning gennem Q: y = 8a^3 - 24a^2 (x-a)

y = 8a^3 - 24a^2x + 24a^3

y = 16a^3 - 24a^2x

Det må være her, at jeg gør noget forkert. Tangenten til grafen gennem Q skal jo være 4 gange større, end tangenthældningen gennem P, hvilket jo ikke er tilfældet ://

Tangenthældningen i P har jeg jo fået til 3a^2 og igennem Q er det -24a^2  


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Tangenten til grafen for f i punktet (-2a, -8a3) har en hældning givet ved

                                               \begin{align*} f^\prime(-2a) &= 3\cdot(-2a)^2 \\ &= 4\cdot\underbrace{3\cdot a^2}_{f^{\prime}(a)} \\ &= 4\cdot f^{\prime}(a) \end{align*}.

Hvorfor at du kan slutte at tangenten til grafen for f gennem Q har en hældning, der er 4 gange tangenthældningen i punktet P. 


Brugbart svar (0)

Svar #2
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

NB. Hele dit ræsonnement optil og inklusivt 

#0
Koordinatsæt til Q er (-2a,f(-2a)) = (-2a, -8a^3)

er korrekt.


Svar #3
16. oktober 2018 af Bob1234567891 (Slettet)

Ahhh, okay. Nu er jeg med. Du skal have tusind tak for hjælpen! :-)

Vil det så sige, at tangentens ligning for f gennem Q er givet ved: y = -8a3 + 12a2 (x-2a)

y = 12a2x - 32a3   ? 


Svar #4
16. oktober 2018 af Bob1234567891 (Slettet)

Eller nej, det må vel så være: y = -8a3 + 12a2 (x+2a) = 12a2x + 16a3


Brugbart svar (0)

Svar #5
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Ja, det er korrekt.

God fortsat studielyst ;-)


Skriv et svar til: Tangenthældning igennem to forskellige punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.