Matematik

Kan en definitionsmængde findes vha. CAS eller?

19. oktober 2018 af Adam9659 - Niveau: A-niveau

Hejsa.

Jeg sidder og laver følgende opgave, men jeg har svært ved at lure, hvad definitionsmængden kan være. Kan CAS være behjælpelig her eller? Det er opg b. Forskriften har jeg fået til at være: f(x) = (x^2/2+x-1)^2.

På forhånd mange tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Pas, jeg skal ikke kunne svare på om der findes en syntaks i dit CAS verktøj der kan gøre dette. Men det kan nemt ses af forskriften for funktionen $f$ at den største mulige definitionsmængde for $f$ er mængden af de reelle tal $\mathbb{R}$ . Hvorfor?, jo fordi at udtrykket

$\bigg(\frac{x^2}{2}+x-1\bigg)^2$

er veldefineret for samtlige tænkelige valg af reelle tal $x$ .

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Hvilket CAS vektøj anvender du?

For det virker til at CAS væktøjet i TI-nspire lommeregneren har en syntaks for dette (link). Hvorimod at Maple (som også er et CAS værktøj) ikke har en sådan syntaks (link).

Svar #3
19. oktober 2018 af Adam9659

Jeg bruger Maple. :-) Jeg har lidt svært ved at forstå din forklaring .. Altså definitionsmængden iflg. facit er (0,732;∞(. Hvordan kan man bare se det uden at bruge en eller anden form for lommeregner?

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. oktober 2018 af guuoo2

#2 Det facit giver vist ingen mening.

Bemærk at der er to løsninger til diff-ligningen:
$\\f(x)=\frac{1}{4} (x (x+2)-2)^2 \\\\f(x)=\frac{1}{4} (x (x+2)-14)^2$

Begge funktioner er produkter af ikke-negative faktorer. Derfor giver differentialligningen mening for alle x, da √y er defineret for y≥0. Hele R kan derfor inkluderes i definitionsmængden.

Svar #5
19. oktober 2018 af Adam9659

Her er facit på opgaven..

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2018 af guuoo2

Dm(f) som angivet i facit vil være rigtigt, hvis der af en grund gjaldt x>0 og at funktionen skulle være voksende, men det fremgår ikke i #0. Desuden vil der med disse ekstrabetingelser stadig være to løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#4 Det er korrekt at funktionen

$\begin{align*} f(x) = \bigg(\frac{x^2}{2}+x-1\bigg)^2 \end{align*}$

ikker er samtlige løsninger til differentialligning

$\begin{align*} y^\prime &= 2(x+1)\sqrt{y} \\ y(2) &= 9\end{align*}$ .

Men den er én løsning og det er det eneste opgaven efterspørger. Problemet er selvfølgelig at der ikke gælder entydighed for den pågældende differentialligning, hvorfor at betingelsen y(2) = 9 ikke er tilstrækkelig til at bestemme en entydig løsning. Hvorfor at besvarelsen af opgaven selvfølgelig afhænger af hvilken af de to løsninger man vælger. Begge besvarelser er dog lige gyldige (uanset valg). Man kan selvfølgelig argumentere at en mere fuldsgørende besvarelse vil bestå i at besvare delopgave a) og b) for hver af de to løsninger.

Svar #8
19. oktober 2018 af Adam9659

Jeg har forsøgt at løse den vha. Maple. Det sidste resultat stemmer overens med facit. Er det en korrekt fremgangsmåde eller er jeg galt på den? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. oktober 2018 af guuoo2

Bemærk at #1 #4 #6 og #7 er vrøvl. Det facit du angiver er rigtigt.

#8 Det dit CAS giver dig
$f(x)=\frac{x^4}{4}+x^3-2 x+1$

sættes ind i diff-ligningen
$\\\tex{ }\hspace{2.3cm} y'=2(x+1)\sqrt{y} \\{-2} + 3 x^2 + x^3=2(x+1)\sqrt{x^4/4+x^3-2x+1}$

hvis begge sider kvadreres, så får du det samme, men fortegnet skal også være det samme.
Højresiden har samme fortegn som , dvs. for at finde definitionsmængden skal du finde ud af hvornår har samme fortegn som $x+1$

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. oktober 2018 af mathon

efter separation af de variable:

$\frac{1}{2\sqrt{y}}\mathrm{d}y=(x+1)\mathrm{d}x$ $\textup{som integreret giver:}$

$\int \frac{1}{2\sqrt{y}}\mathrm{d}y=\int (x+1)\mathrm{d}x$

$\sqrt{y}=\tfrac{1}{2}x^2+x+C$ $\textup{gennem P(2,9)}$

$\sqrt{9}=\tfrac{1}{2}\cdot 2^2+2+C$

$C=-1$

$\sqrt{y}=\tfrac{1}{2}x^2+x-1$

$y=\left (\tfrac{1}{2}x^2+(x-1) \right )^2$

$y=\tfrac{1}{4}x^4+2\cdot \tfrac{1}{2}x^2\cdot (x-1)+x^2-2x+1$

$y=\tfrac{1}{4}x^4+x^3-x^2+x^2-2x+1$

$y=\tfrac{1}{4}x^4+x^3-2x+1$

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. oktober 2018 af guuoo2

Divisionen i første linje i #10 gør at resultatet kun er gyldigt inden for et område omkring P(2,9) hvor y ≠ 0.

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. oktober 2018 af mathon

Ja!

Brugbart svar (0)

Svar #13
19. oktober 2018 af AMelev

Løsninger til differentialligninger skal angives i sammenhængende mængder for både x og y.

y ≥ 0 af hensyn til √y.
Ved separation af variable, skal desuden gælde y ≠ 0, så y > 0

$f(x)=\frac{x^4}{4}+x^3-2 x+1=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{3}-1=-2.73 \vee x=\sqrt{3}-1=0.73.$
f er positiv undtagen i de to nulpunkter, hvilket deler x-aksen op i de tre intervaller, som du har fundet.
Da punktet (2,9), dvs. x = 2 skal ligge på løsningskurven, skal x > 0.73 - altså er definitionsmængden det sidste interval, hvis vi kun baserer det på forbeholdet ved separation af variable.

Så skal y = 0 undersøges specielt, og spørgsmålet er, om det giver en løsning:
y' = 2(x+1)·√y ⇔ 0 = 2(x + 1)·0 gælder for alle x - også for nulpunkterne for f,
så jeg vil umiddelbart mene, at definitionsmængden er hele R.

Skriv et svar til: Kan en definitionsmængde findes vha. CAS eller?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.