Matematik

Frie variabler

20. oktober 2018 af SJ199 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvad betyder det hvis min matrix ikke har nogen frie varabler? Min opgave siger jeg skal finde den a værdi hvor mine tre planer ikke har noget fælles punkt og med den a værdi jeg har fundet så har jeg fuld rang altså ingen frie variable og så er jeg bare ikke sikker på hvad det så betyder.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2018 af guuoo2

Frie variable for en matrix $M$ refererer til de retninger som du kan ændre en vektor $v$ uden at billedet af $v$ under $M$ (dvs. $Mv$ ) ændrer sig. Hvis $M$ har fuld rang, så er afbildningen $v\mapsto Mv$ injektiv, hvorfor billedet ændre sig uanset hvilken retning $v$ translateres.

Svar #2
20. oktober 2018 af SJ199

Så det vil sige at hvis jeg har min a værdi der gør at min matrix har fuld rang så betyder det at mine planer ikke har noget fælles punkt fordi at hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2018 af guuoo2

Nej, 3 lineære ligninger med 3 ubekendte x,y,z har præcis 1 løsning hvis koefficientmatricen har fuld rang.

Koefficientmatricen er
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & a-1 \\ 1 & a-1 & 0 \\ a & -a & a-1 \\ \end{array} \right)$
hvis determinant er
$(a-1) \left(a-a^2\right)$
som skal være 0 før der kan være tale om andet end præcis 1 løsning.
Det kræver tydeligvis at a=0 eller a=1.

Gæt på a=1, hvormed den første og sidste ligning er
x - y = 1 og
x - y = 0
hvilket er en modstrid, så ligningerne har ingen løsning (dvs. planerne har intet skæringspunkt), når a=1.

Svar #4
20. oktober 2018 af SJ199

Nårhh nu forstår jeg! Tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Frie variabler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.