Matematik

formler

23. oktober 2018 af hjælpmiggggggg - Niveau: C-niveau

Bevis for formlerne for a og b i en lineær funktion

- forstår ikke helt hvad det er jeg skal her

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. oktober 2018 af guuoo2

Lad (x₁, y₁) og (x₂, y₂) være to punkter som tilhører grafen for en lineær funktion f(x) = a·x + b.

Dermed gælder de to ligninger:
y₁ = a·x₁ + b
y₂ = a·x₂ + b
som du kan isolere a og b ud fra.

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Lad $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ være to kendte/givne punkter på samme rettelinje. Da gælder der at

$(1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y_1 = ax_1 + b$

$(2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y_2 = ax_2 + b$

Subtraher nu (1) fra (2), dermed har du at

$\begin{align*} (3)\qquad\qquad\qquad\qquad y_2 - y_1 &= ax_2 + b - (ax_1 + b) \\ &= ax_2 + \cancel{b} - ax_1 - \cancel{b} \\ &= ax_2 - ax_1 \\ &= a(x_2 - x_1) \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} (4)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} \end{align*}$ .

Multiplicer (1) med $x_2$ og multiplicer (2) med $x_1$ . Subtraher nu den første af disse ligninger fra den sidste. Dermed har du at

$\begin{align*} (5)\qquad\qquad\qquad\qquad x_1y_2 - x_2y_1 &= x_1\cdot(ax_2 + b) - x_2\cdot(ax_1 + b) \\ &= \cancel{ax_1x_2} + bx_1 - \cancel{ax_1x_2} - bx_2 \\ &= ax_2 - ax_1 \\ &= b(x_1 - x_2) \end{align*}$

Hvorfor at

$\begin{align*} (6)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad b &= \frac{x_1y_2 - x_2y_1}{x_1-x_2} \\ &=\frac{\det\begin{pmatrix}y_1 & x_1 \\ y_2 & x_2\end{pmatrix}}{x_2 - x_1}\end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. oktober 2018 af mathon

$\small \begin{array}{lrclrcll} \textup{Formlen for den line\ae re funktion:}& \small y=ax+b\\ \textup{Kendes to punkter p\aa \ linjen}&P_1=(x_1,y_1)&&P_2=(x_2,y_2)\\ \textup{der jo opfylder}&y_1=ax_1+b&&y_2=ax_2+b\\ \textup{har du ved subtraktion:}&y_2-y_1&=&a(x_2-x_1)\\ \textup{hvoraf:}&a&=&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ \textup{da \textbf{a} nu er kendt, benyttes:}&y_1=ax_1+b\\ \textup{der giver:}&b&=&y_1-a\cdot x_1 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. oktober 2018 af PeterValberg

Se eventuelt video nr. 10 på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Skriv et svar til: formler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.