Matematik

Differentialregning af 1. og 2. orden

31. oktober 2018 af mimi99 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der en der kan hjælpe mig med at beregne følgende opgave:

Antag, at y=f(x) er en funktion, som opfylder ligningen

$sin(x)+e^y+y=1$

i en omegn af punktet (x_0,y_0) = (0,0)

Bestem

$\frac{df}{dx}(0)$ og $\frac{d^2f}{dx^2}(0)$

Jeg tænker jeg først skal differentiere f(x) men hvad så efter?

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. oktober 2018 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\cos(x)+e^y\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{\cos(x)}{e^y}=-\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)-y}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)+y-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. oktober 2018 af AMelev

$sin(x)+e^{f(x)}+f(x)=1$

Hvis du differentierer mht. x på begge sider, får du
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(sin(x)+e^{f(x)}+f(x))=0\Leftrightarrow cos(x)+e^{f(x)}\cdot f'(x)+f'(x)=0\Leftrightarrow cos(x)+f'(x)\cdot(e^{f(x)}+1) =0\Leftrightarrow f'(x)= ....$

Så indsætter du x = 0, idet du ved, at f(0) = y_0 = 0

Tilsvarende for at bestemme f''(0).
Tag udgangspunkt i $cos(x)+f'(x)\cdot(e^{f(x)}+1) =0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. november 2018 af MatAmA (Slettet)

Har et lille spørgsmål. Når du differentierer sin(x)+e^f(x)+f(x)=1, hvorfor får man 2 f'(x) ?

cos(x)+e^f(x)*f'(x)+f(x)

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. november 2018 af AMelev

Du skal differentiere hvert led for sig.
e^f(x) er sammensat af e^y og f(x), og reglen siger, at du skal differentiere ydre funktion og gange med indre funktion differentieret, så (e^f(x))' = e^f(x)·f '(x).

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. november 2018 af MatAmA (Slettet)

Det giver god mening! Jeg takker for svaret AMelev :D

Svar #6
02. november 2018 af mimi99

Jeg forstår ikke det du har lavet her

#1
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\cos(x)+e^y\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{\cos(x)}{e^y}=-\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)-y}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)+y-1}$

Svar #7
02. november 2018 af mimi99

#2
$sin(x)+e^{f(x)}+f(x)=1$

Hvis du differentierer mht. x på begge sider, får du
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(sin(x)+e^{f(x)}+f(x))=0\Leftrightarrow cos(x)+e^{f(x)}\cdot f'(x)+f'(x)=0\Leftrightarrow cos(x)+f'(x)\cdot(e^{f(x)}+1) =0\Leftrightarrow f'(x)= ....$

Så indsætter du x = 0, idet du ved, at f(0) = y_0 = 0

Tilsvarende for at bestemme f''(0).
Tag udgangspunkt i $cos(x)+f'(x)\cdot(e^{f(x)}+1) =0$

Er det så meningen jeg skal isolere f'(x) som så er resultatet til df/dx(0) ?

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. november 2018 af AMelev

Ja, du skal isolere f '(x) og så indsætte x = 0

Svar #9
03. november 2018 af mimi99

Hvad gør jeg forkert mht. f''(0)

Jeg starter med at tage udgangspunkt i cos(x)+f'(x)(e^f(x)+1)=0 for at bestemme f''(0)

$\frac{df}{dx}(cos(x)+f'(x)(e^f(x)+1)=0 \Leftrightarrow -sin(x)+f''(x)(e^f(x)*f'(x))=0 \Leftrightarrow f''(x)=\frac{sin}{e^f(x)*f'(x)}$

Indsætter nu x=0 idet f(0)=y0=0

$f''(x)=\frac{sin(x)}{e^f(x)*f'(x)} = f''(0)=\frac{sin(0)}{e^f(0)*f'(0)} = \frac{0}{1+0}=\frac{0}{1}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. november 2018 af AMelev

Ikke df/dx (...), men d/dx(...)
Du glemmer at differentiere f '(x)·(e^f(x) + 1) som et produkt ("Den ene differetientieret gange den anden plus omvendt")
Desuden forstår jeg ikke, hvordan du har fået $\frac{sin(0)}{e^f(0)*f'(0)} = \frac{0}{1+0}$ Hvad fik du f '(0) til?

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}( cos(x)+f'(x)\cdot(e^{f(x)}+1)) =0\Leftrightarrow$ $-sin(x)+f''(x)\cdot (e^{f(x)}+1)+f'(x)\cdot e^{f(x)}\cdot f'(x)=0$

Svar #11
03. november 2018 af mimi99

Jeg får nu

$\frac{d}{dx}(cos(x)+f'(x)(e^{f(x)}+1))=0\Leftrightarrow -sin(x)+f'(x)+f'(x)*e^{f(x)}+f''(x)*(e^{f(x)}+1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{-sin(x)}{2f'(x)*e^{f(x)}*(e^{f(x)}+1)}$

Er dette korrekt?

Svar #12
03. november 2018 af mimi99

Rettelse

$\frac{d}{dx}(cos(x)+f'(x)(e^{f(x)}+1))=0\Leftrightarrow -sin(x)+f'(x)+f'(x)*e^{f(x)}+f''(x)*(e^{f(x)}+1)=0 \Leftrightarrow f''(x)= \frac{-sin(x)}{2f'(x)*e^{f(x)}*(e^{f(x)}+1)}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
03. november 2018 af AMelev

Du glemmer, at e^f(x)er sammensat - se #10, og der er fejl i reduktionen.
Hvad fik du f '(0) til?

Svar #14
04. november 2018 af mimi99

fik f'(0) til -1/2

Svar #15
04. november 2018 af mimi99

udregningen er beskrevet i følgende tråd...

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1859328

Svar #16
04. november 2018 af mimi99

får følgende nu:

$\frac{d^2f}{dx^2}(cos(x)+f'(x)*(e^{f(x)}+1))=0 \Leftrightarrow -sin(x)+f''(x)*(e^{f(x)}+1)+f'(x)*e^{f(x)}*f'(x)=0 \Leftrightarrow -sin(0)+f''(x)*(e^{f(0)}+1)+(\frac{-1}{2})*e^{f(0)}*(\frac{-1}{2})=0\Leftrightarrow 0+f''(x)*(1+1)+(\frac{-1}{2})*1*(\frac{-1}{2})=0 \Leftrightarrow 2f''(x)+(\frac{-1}{2})*(\frac{-1}{2})=0\Leftrightarrow 2f''(x)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow f''(x)=\frac{\frac{-1}{4}}{2} \Leftrightarrow f''(x)=-\frac{1}{8}$

Svar #17
04. november 2018 af mimi99

er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #18
04. november 2018 af MatAmA (Slettet)

mimi99
Har du udregnet f''(x)? Kan du hjælpe mig med dette, hvis du har?
f''(0) skal vist blive -1/8

Svar #19
04. november 2018 af mimi99

#18
mimi99
Har du udregnet f''(x)? Kan du hjælpe mig med dette, hvis du har?
f''(0) skal vist blive -1/8

Du skal differentiere f'(x) en gang mere altså

$\frac{d^2f}{dx^2}(cos(x) +f'(x)*(e^{f'(x)}+1))=0$

Herefter isolere du f''(x), som du meget gerne skulle få når du har differentieret f'(x). Jeg har ikke isoleret f''(x) direkte men gjort som beskrevet i #16, da jeg synes det nemmere at arbejde med tal.

Brugbart svar (0)

Svar #20
04. november 2018 af MatAmA (Slettet)

Jeg har gjort på samme måde. Tak for svaret :)

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.