Matematik

Forklaring på opgave

03. november 2018 af Bryde (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg fik hjælp til opgaven i tråden herunder,

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1858852

Fremgangsmåden er, for mit vedkommende, ikke særlig brugbar, da jeg ikke har lært om f.eks. lesbesgue-0-mængde 

Er der en venlig sjæl, der kan give en anden måde, hvorpå opgaven kan løses?

Hilsen Bryde


Brugbart svar (1)

Svar #1
03. november 2018 af StoreNord

Næh
Tricky opgave, joint CDF.png


Brugbart svar (0)

Svar #2
03. november 2018 af Brydee (Slettet)

Hvad mener du med "næh? Og hvad prøver du at forklare med tegningen?


Brugbart svar (0)

Svar #3
03. november 2018 af Brydee (Slettet)

Hvis det er PDFen, du har indtegnet, så har du glemt 2 foran e 

.....


Brugbart svar (0)

Svar #4
03. november 2018 af Brydee (Slettet)

Kan man forvente en forklaring inden imorgen?


Brugbart svar (1)

Svar #5
03. november 2018 af guuoo2

Du skal (dobbelt) integrere PDF'en, og rækkefølgen af integrationsvariablene X og Y er overflødig både teoretisk og i dette tilfælde i praksis. Dvs. du skal beregne enten
\\\int\int\begin{cases}2e^{-X-2Y}&X>0\land Y>0\\0&\text{else} \end{cases}dX\,dY \quad\ \quad\text{eller}\\\int\int\begin{cases}2e^{-X-2Y}&X>0\land Y>0\\0&\text{else} \end{cases}dY\,dX

For at finde frem til grænserne skal du først gøre dig klart hvordan området i planet, hvor hændelsen
X < 2Y forekommer, ser ud. Har du prøvet at tegne det på papir? Området ligger i første kvadrant, da PDF'en 0 overalt i de andre kvadranter.

Den yderste integrationsvariabel kan benyttes i grænserne for det inderste integral, da hele det inderste integral er integrand i det ydre integral.


Brugbart svar (0)

Svar #6
03. november 2018 af Brydee (Slettet)

Sikke en velformulerende og pædagogisk forklaring, det kigger jeg lige på!


Brugbart svar (0)

Svar #7
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Jeg har lavet en tegning herunder (vedhæftet)


Brugbart svar (0)

Svar #8
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Det grønne svarer til PDFen, mens det blå svarer til P(X<2Y)

Jeg tænker der er et eller andet galt, eftersom du nævnte i en tidligere tråd, at svaret på opgaven var P(x<2Y)= 1/2


Brugbart svar (0)

Svar #9
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Jeg får P(X<2Y) = 0,24


Brugbart svar (0)

Svar #10
04. november 2018 af guuoo2

#7 er korrekt hvis rød=x og grøn=y, kan du vise hvordan du fik 0.24?


Brugbart svar (0)

Svar #11
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Det er korrekt, at rød = x og y = grøn

Eller, jeg får faktisk 0.25...


Brugbart svar (0)

Svar #12
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Jeg ganger 12,8 med 1/49, da hele sandsynlighedsmålet er 1. 


Brugbart svar (0)

Svar #13
04. november 2018 af Brydeee (Slettet)

Men jeg er egentligt lidt i tvivl om, hvordan grænserne skal sættes for PDFen


Brugbart svar (0)

Svar #14
04. november 2018 af Brydeeee (Slettet)

Jeg er overbevist om, at svaret du mig i den tidligere tråd er forkert, og svaren på opgaven er P(X<2Y) = 1/4.


Brugbart svar (0)

Svar #15
04. november 2018 af swpply (Slettet)

Hvis du ikke acceptere den elegante løsning givet af guuoo2. Da har du (ved "brute force") at

                                   \begin{align*} \text{Pr}(X\leq 2Y) &= \int_0^\infty\int_0^{2y}2e^{-x-2y}\,dx\,dy \\ &= 2\int_0^\infty e^{-2y}\int_0^{2y}e^{-x}\,dx\,dy \\ &= 2\int_0^\infty e^{-2y}\big(1 - e^{-2y}\big)\,dy \\ &= 2\int_0^\infty \big(e^{-2y} - e^{-4y}\big)\,dy \\ &= 2\bigg(\frac{1}{2} - 0 + 0 - \frac{1}{4}\bigg) \\ &= \frac{2}{4} \\ &=\frac{1}{2} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #16
04. november 2018 af Brydeeeee (Slettet)

Stort tak for hjælpen alle tre!


Skriv et svar til: Forklaring på opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.