Matematik

Undersøg ved brug af tretrinsreglen, om 𝑓 er differentiabel

25. november 2018 af Genjutsu - Niveau: B-niveau

forstår ikke opgaven Hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. november 2018 af peter lind

Du skal danne differenskvotientnén for x=1 og lade h->0 fra venstre. Da det er fra venstre skal du bruge det øverste udtryk for f(x)

dernæst skal du danne differenskvotienten for x=1 og lade h->0 fra højre. Nu skal du bruge den nederste udtryk for f(x) undtagen for x=1. Der skal du stadig bruge det øversre udtryk

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. november 2018 af AMelev

$f(x) =\left\{\begin{matrix} f_1(x)=x^3+2 & for\, x\leq 1 \\ f_2(x)=x^2+x+1 & for \, x<1 \end{matrix}\right.$
f(1) = f₁(1) = 3

Når du skal opstille differenskvotienten, skal du skelne mellem x < 1 og x > 1
x<1, dvs. Δx < 0: Her hedder funktionen f₁(x), så
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= \frac{f_1(x+\Delta x)-3}{\Delta x}$
Indsæt og reducér helt til bunds, så Δx er forkortet væk.

Tilsvarende for x > 1, dvs. Δx > 0: Her hedder funktionen f2(x), så
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= \frac{f_2(x+\Delta x)-3}{\Delta x}$
Indsæt og reducér helt til bunds, så Δx er forkortet væk.

Så er du klar til at foretage grænseovergangen for venstre og højre differenskvotientet, når Δx går mod .0 fra hhv. venstre og højre. Hvis deres grænseværdier er ens, har differenskvortienten en grænseværdi, nemlig den de begge havde, og det er differentialkvotienten i 1.
Hvis de er forskellige har differenskvortienten ikke en grænseværdi, og f er derfor ikke differentiabel i 1.

Lettere, men kravet var jo, at tretrinsreglen skulle bruges:
Såvel f₁ som f₂ er differentiable i 1 og har derfor en tangent med hhv. f₁'(1) og f₂'(1). Hvis f skal være differentiabel i 1, skal grafen have en tangent i 1. Altså skal de to halvtangenter for f₁ med x < 1 og f₂ med x > 1 udgøre én tangent.
Derfor skal f₁'(1) = f₂'(1). Når det er tilfældet er f differentiabel i 1 med f '(1) = f₁'(1) + f₂'(1).

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. november 2018 af Soeffi

#0. Mit gæt: vis at...

$\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x^2+x-2}{x-1}$

Svar #4
25. november 2018 af Genjutsu

#2
$f(x) =\left\{\begin{matrix} f_1(x)=x^3+2 & for\, x\leq 1 \\ f_2(x)=x^2+x+1 & for \, x<1 \end{matrix}\right.$
f(1) = f₁(1) = 3

Når du skal opstille differenskvotienten, skal du skelne mellem x < 1 og x > 1
x<1, dvs. Δx < 0: Her hedder funktionen f₁(x), så
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= \frac{f_1(x+\Delta x)-3}{\Delta x}$
Indsæt og reducér helt til bunds, så Δx er forkortet væk.

Tilsvarende for x > 1, dvs. Δx > 0: Her hedder funktionen f2(x), så
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}= \frac{f_2(x+\Delta x)-3}{\Delta x}$
Indsæt og reducér helt til bunds, så Δx er forkortet væk.

Så er du klar til at foretage grænseovergangen for venstre og højre differenskvotientet, når Δx går mod .0 fra hhv. venstre og højre. Hvis deres grænseværdier er ens, har differenskvortienten en grænseværdi, nemlig den de begge havde, og det er differentialkvotienten i 1.
Hvis de er forskellige har differenskvortienten ikke en grænseværdi, og f er derfor ikke differentiabel i 1.

Lettere, men kravet var jo, at tretrinsreglen skulle bruges:
Såvel f₁ som f₂ er differentiable i 1 og har derfor en tangent med hhv. f₁'(1) og f₂'(1). Hvis f skal være differentiabel i 1, skal grafen have en tangent i 1. Altså skal de to halvtangenter for f₁ med x < 1 og f₂ med x > 1 udgøre én tangent.
Derfor skal f₁'(1) = f₂'(1). Når det er tilfældet er f differentiabel i 1 med f '(1) = f₁'(1) + f₂'(1).

Hej, tak for svaret, forstår ikke helt hvad jeg skal gøre med f(1)=3

jeg ved at grænseværdien skal være = 3 men pga. det (-3) får jeg den til 0 hvad gør jeg forkert

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. november 2018 af peter lind

Jeg går ud fra at det er for x<1

der får du f(x+h) = (1+h)³+2 = 1 +3h+3h²+ h³+2

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. november 2018 af AMelev

#4 Jeg har klumret og ikke skrevet 1 på x's plads i differenskvotienten.

I dit regnestykke glemmer du + 2 i f(x + h).
Desuden er sidste beregning forkert $\frac{h^3+3h^2x+3hx^2+x^3-3}{h}=h^2+3hx+x^2+\frac{x^3-3}{h}$ . Du skal dividere ALLE led i tælleren med h.

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. november 2018 af Soeffi

#3. Først: f(x) er kontinuert i x = 1. Dernæst:

Venstre side:

$\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{x^3+2-(1^3+2)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{x^3-1}{x-1}=$

$\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1-}x^2+x+1=\mathbf{3}$

Højre side:

$\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x^2+x+1-(1^2+1+1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x^2+x-2}{x-1}=$

$\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+}x+2=\mathbf{3}$

Skriv et svar til: Undersøg ved brug af tretrinsreglen, om 𝑓 er differentiabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.