Matematik

komplekse tal - argument, modulus, z...

27. november 2018 af skjansen (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har fået opgaven:
Løs ligningen z^6=729, hvor z er et kompleks tal, og beskriv den figur er kommer, når de punkter, der repræsenterer løsningerne i den komplekse talplan, forbindes med linjestykker.

Har læst et sted at at det er noget med argumentet og noget cos og sin og noget med pi.
Men forstår det ikke...
En der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. november 2018 af mathon

$\small z^6=3^6$

$\small z=3$

Svar #2
27. november 2018 af skjansen (Slettet)

men skal man ikke finde det komlpekse tal z? 3 er jo ikke ligefrem et komplekst tal?

Svar #3
27. november 2018 af skjansen (Slettet)

eller er det så bare 3+0i?

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. november 2018 af mathon

detaljer:

$\small z^6=3^6\cdot (\cos(0)+i\cdot \sin(0))$

$\small z=3\cdot \left(\cos\left ( \frac{0}{6} \right )+i\cdot \sin\left ( \frac{0}{6} \right )\right)$

$\small z=3\cdot \left(\cos\left (0\right )+i\cdot \sin\left ( 0\right )\right)$

$\small z=3\cdot \left(1+i\cdot 0\right)$

$\small \small z=3\cdot \left(1+0\right)$

$\small z=3$

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. november 2018 af mathon

3 er da ligefrem et komplekst tal

$\small \small z=3+0i$

Svar #6
27. november 2018 af skjansen (Slettet)

hvor kommer 0 fra? det der cos(0) og sin(0)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. november 2018 af mathon

eller

$\small z^6=3^6\cdot e^{i\cdot 0}$

$\small z=3\cdot e^{i\cdot \frac{0}{6}}$

$\small z=3\cdot e^0$

$\small z=3\cdot 1$

$\small z=3$

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. november 2018 af mathon

For det komplekse tal

$\small \small z=a+i\cdot b$
gælder:
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \small z=a+i\cdot b=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \left ( \cos\left ( \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \right )+i\cdot \sin\left ( \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \right ) \right )=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{b}{a} \right )}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. november 2018 af Festino

Sæt $w=e^{\frac{2\pi i}{6}}$ . Så er

$w^6=\left(e^{\frac{2\pi i}{6}}\right)^6=e^{\frac{2\pi i}{6}\cdot 6}=e^{2\pi i}=1$ .

Dermed er $(3w)^6=3^6w^6=729$ . Det viser, at $3w$ er en løsning til ligningen $z^6=729$ . Samtlige løsninger er $L=\{3,3w,3w^2,3w^3,3w^4,3w^5\}$ . I øvrigt er

$w=e^{\frac{2\pi i}{6}}=\cos\frac{2\pi}{6}+i\sin\frac{2\pi}{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ .

Løsningsmængden kan derfor også skrives

$L=\left\{3,\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i,-3,-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i,\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i\right\}$

Når man forbinder løsningerne med linjestykker, får man en regulær hexagon (sekskant).

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. november 2018 af mathon

eller til indtegning:

$\small \{(3\angle0\degree),(3\angle60\degree),(3\angle120\degree),(3\angle180\degree),(3\angle240\degree),(3\angle300\degree)\}$

Skriv et svar til: komplekse tal - argument, modulus, z...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.