Matematik

Bevis ved induktion eller stærk induktion.

25. december 2018 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sidder og læser op til eksamen. Jeg har en opgave der siger:

En talfølge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}...$ er defineret rekursivt ved $a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n}=2*a_{n-1}-a_{n-2}+2$

for alle $n\geq 2$ .

Vis ved induktion eller stærk induktion at $a_{n}=n^2$ for alle $n\geq 0$ .

Jeg er startet med basisskridtet, hvor man beviser at P(1) er sand: $P(1)=1^2=1$ .

Ved induktionsskridtet vil man så bevise at P(1+k) er sand, ikke? det er så derefter jeg ikke kunne komme videre. Tænkte at man opstilte det noget i den stil:

$k^2=[2*a_{k-1}-1-a_{k-2}+2]+a_{k+1}$

$=k^2+a_{k+1}$

Kan det passe, eller er det langt ude...

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. december 2018 af wes2

Kan være der står noget her, så du kan komme i gang.

https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/347.summer14/induction2.pdf

Svar #2
25. december 2018 af Warrio

Mange tak, et hjalp meget :D

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. december 2018 af AskTheAfghan

Du anvender stærk induktion. Vis, at P(0), P(1) og P(2) er sande. Lad m være et naturligt tal større end 2. Antag at P(k) er sand for alle 0 ≤ k ≤ m. Du skal vise, at P(k + 1) er sand, dvs. at a_k+1 = (k + 1)².

Skriv et svar til: Bevis ved induktion eller stærk induktion.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.