Matematik

bevis ved induktion

02. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har lidt problemer med opgaven, da der både i og n som variabler... om det er begge steder, hvor man skriver k istedet. og hvordan er det at man skal opstille induktive hypotese.

opg. er vedhæftet som et billede.

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Screen Shot 2019-01-02 at 17.14.06.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. januar 2019 af AMelev

i er bare et indeks, som kan være et hvilket som helst naturligt tal over e, fx n eller n +1.

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. januar 2019 af AMelev

P(n): m_n = 2ⁿ - 1

P(1): m₁ = 2¹ - 1 = 1 Sand iflg. def.

Antag, at P(n) er sand, dvs. at m_n = 2ⁿ - 1
P(n + 1): m_n+1 = 2ⁿ⁺¹ - 1
m_n+1 = 2(m_n+1-1 + 1) - 1 iflg. rekursionsformlen (i = n+1) ⇔
m_n+1 = 2m_n + 2 - 1 = 2m_n + 1 = 2·(2ⁿ - 1) +1 iflg. P(n) ⇔
m_n+1 = 2·2ⁿ - 2 +1 = 2ⁿ⁺¹ - 1 , så hvis P(n) er sand, er P(n + 1) også sand.

Svar #3
02. januar 2019 af Warrio

okay.

Jeg har at basisskridtet er, hvor man ser om P(1) er sand:

$p(1)=2^{1}-1=2-1=1$ hvilket vil sige at det er sand.

Induktivsskridtet er så at man vil vis at P(k+1) også er sand: det er vel så

$p(k+1)=2^{k+1}-1$ ikke?

Jeg er gået i stå her :(

Svar #4
02. januar 2019 af Warrio

#2
P(n): m_n = 2ⁿ - 1

P(1): m₁ = 2¹ - 1 = 1 Sand iflg. def.

Antag, at P(n) er sand, dvs. at m_n = 2ⁿ - 1
P(n + 1): m_n+1 = 2ⁿ⁺¹ - 1
m_n+1 = 2(m_n+1-1 + 1) - 1 iflg. rekursionsformlen (i = n+1) ⇔
m_n+1 = 2m_n + 2 - 1 = 2m_n + 1 = 2·(2ⁿ - 1) +1 iflg. P(n) ⇔
m_n+1 = 2·2ⁿ - 2 +1 = 2ⁿ⁺¹ - 1 , så hvis P(n) er sand, er P(n + 1) også sand.

Når ja det giver mening. Tusinde tak!

Skriv et svar til: bevis ved induktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.