Matematik

Kritisk punkt og retningsafledede

10. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sider med en opgave i et stykke tid nu, og er gået helt blank nu. Den er vedhæftet som et billede. Det er opg. b), d) og c), som jeg har problemer med.

I b) er det korrekt at det kritiske punkt er (0,0)?

I c) får jeg noget helt forkert. En hint måske til, hvordan man laver den?

d) er jeg ikke sikker på, hvordan det var nu man gjorde.

På forhånd tak!

Vedhæftet fil: Screen Shot 2019-01-10 at 18.05.55.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave b)

$\begin{align*} \nabla f(x,y) = \mathbf{0} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}y-4x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

Hvorfot at (x,y) = (0,0) er et kritisk punkt for f(x,y)

Opgave c)
Brug at

$\begin{align*} D_\mathbf{u}f(P) = \mathbf{u}\cdot\nabla f(P) \end{align*}$

Opgave d)
Brug at $\nabla f(P)$ peger i hvor f(x,y) vokser hurtigtst i punktet P. Hvorfor at $-\nabla f(P)$ er retningen hvor i f(x,y) aftager hurtigist i punktet P.

Svar #2
10. januar 2019 af Warrio

Dey var det jeg gjorde i c), men fik:

$\binom{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \binom{1}{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

og det er vel forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave c)

$\begin{align*} f(x,y) = \sqrt{2x^2-xy+2} \quad&\Rightarrow\quad \nabla f(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2-xy+2}} \begin{pmatrix} 4x-y \\ -x \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow\quad \nabla f(0,1) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} D_\mathbf{u}f(0,1) &= \mathbf{u}\cdot\nabla f(0,1) \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigg[\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\Bigg] \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\bigg] \\ &= -\frac{1}{4}(1-0) \\ &= -\frac{1}{4} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave d)
Svarmulighed $\langle1,0\rangle$ , prøv om du selv kan argumentere hvorfor ved hjælp af #1 og #3.

Skriv et svar til: Kritisk punkt og retningsafledede

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.