Matematik

Kritisk punkt og retningsafledede

10. januar kl. 18:15 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej 

Jeg sider med en opgave i et stykke tid nu, og er gået helt blank nu. Den er vedhæftet som et billede. Det er opg. b), d) og c), som jeg har problemer med.

I b) er det korrekt at det kritiske punkt er (0,0)? 

I c) får jeg noget helt forkert. En hint måske til, hvordan man laver den? 

d) er jeg ikke sikker på, hvordan det var nu man gjorde.

På forhånd tak!


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar kl. 18:26 af swpply

Opgave b)

                                  \begin{align*} \nabla f(x,y) = \mathbf{0} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}y-4x \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}

Hvorfot at (x,y) = (0,0) er et kritisk punkt for f(x,y)

Opgave c)
Brug at

                                           \begin{align*} D_\mathbf{u}f(P) = \mathbf{u}\cdot\nabla f(P) \end{align*}

Opgave d)
Brug at \nabla f(P) peger i hvor f(x,y) vokser hurtigtst i punktet P. Hvorfor at -\nabla f(P) er retningen hvor i f(x,y) aftager hurtigist i punktet P.


Svar #2
10. januar kl. 21:20 af Warrio

Dey var det jeg gjorde i c), men fik:

\binom{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \binom{1}{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}

og det er vel forkert? 


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. januar kl. 09:38 af swpply

Opgave c)

       \begin{align*} f(x,y) = \sqrt{2x^2-xy+2} \quad&\Rightarrow\quad \nabla f(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2-xy+2}} \begin{pmatrix} 4x-y \\ -x \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow\quad \nabla f(0,1) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{align*}

hvorfor at

                                        \begin{align*} D_\mathbf{u}f(0,1) &= \mathbf{u}\cdot\nabla f(0,1) \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigg[\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\Bigg] \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\bigg] \\ &= -\frac{1}{4}(1-0) \\ &= -\frac{1}{4} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #4
11. januar kl. 09:45 af swpply

Opgave d)
Svarmulighed \langle1,0\rangle, prøv om du selv kan argumentere hvorfor ved hjælp af #1 og #3.


Skriv et svar til: Kritisk punkt og retningsafledede

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.