Matematik

Trigonometriske funktioner - Solens maksimale højde

27. januar 2019 af EG92 - Niveau: A-niveau

Hej Folkens, 
Det er 9 år siden jeg sidst havde fat i i trigonometriske funktioner samt et CAS system. Så jeg kan ikke lige få det små grå på rette spor og håber at i kan være behjælpelige. (Opg. 1) (Jeg benytter Maple) 

Opgaven lyder: 

Solens maksimale højde over horisonten en bestemt dag i Midtjylland kan tilnærmelsesvis beskrives ved funktionen:

f(x) = 23.45 sin(2Pi*/365)*x-1.41)+34, 0 < x and x < 365

hvor f(x) er Solens maksimale højde over horisonten i grader på dag nummer x, regnet fra 1. januar (x = 1 svarer til 1. januar, x = 32 til 1. februar osv.).

1) Bestem Solens maksimale højde over horisonten den 12. februar og den 18. maj.

12 Febr: 
x = 32+11 = 43
Definerer funktion:
f(x)=23.45 sin((2 Pi/365)43-1.41)+34

 - Men hvordan kommer jeg videre herfra? (evt. tegner grafen i Maple)

18 Maj:
x=43+95=138 
Definerer funktion: 
f(x)= 23.45sin((2Pi/365)138-1.41)+34 

 - Men hvordan kommer jeg videre herfra? (evt. tegner grafen i Maple)


2) Hvilken dag på året når Solen højest op over horisonten? Hvor højt når den op?
3) Hvilken dag på året er Solens maksimale højde over horisonten mindst? Hvor højt når Solen op over horisonten denne dag?
4) Ved forårsjævndøgn og efterårsjævndøgn er Solens maksimale højde over horisonten  [34 grader. Hvilken datoer er det ifølge modellen?
5) I hvilket tidsrum på året er Solens maksimale højde over  50,5 grader?


Brugbart svar (0)

Svar #1
27. januar 2019 af ringstedLC

1) 

\begin{align*} Definerer\;funktionen: \\ f(x) &:= 23.45\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41\right)+34 \\ f(43)\rightarrow \\ f(138)\rightarrow \end{align*}

Mener det er "plot" f for at tegne grafen.


Svar #2
27. januar 2019 af EG92

Tak for svar. Jeg kan dog ikke få plot til at fungere. Men er det korrekt at omskrive den til: sin(-1.41+86( Pi)/(365))*23.45+34  = 19.44175488 grader? 


Brugbart svar (0)

Svar #3
27. januar 2019 af ringstedLC

#2: Nej, du kan ikke bare "hive" en faktor ud af sinusfunktionen. Brug at:

\begin{align*} \sin_{maks.}(v) &= 1\wedge \sin_{min.}(v) = -1\Downarrow \\ Solvinkel_{maks.} &= 23.45\cdot \sin_{maks.}+34 \\ Solvinkel_{min.} &= 23.45\cdot \sin_{min.}+34 \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #4
27. januar 2019 af mathon

\small \begin{array}{lllll} 4)&\frac{2\pi }{365}x-1.41=\pi &\textup{hvoraf}&x=264\\\\ &\frac{2\pi }{365}x-1.41=\tfrac{3 \pi}{2} &\textup{hvoraf}&x=447&\textup{dvs }(447-365)\textup{ ind i det efterf\o lgende \aa r} =\; 82\; \textup{dage} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
27. januar 2019 af mathon

  \small \small \begin{array}{lllll} 5)&u=\frac{2\pi }{365}x-1.41\\\\ &\sin(u)=0.780486\\\\ &u=\sin^{-1}\left (0.780486 \right )=\left\{\begin{array}{llll} 0.895443\\\pi - 0.895443=2.246150\\ \end{array}\right.\\ \textup{hvoraf:}\\ &\frac{2\pi }{365}x-1.41= 0.895443\Leftrightarrow x=134\\\\ &\frac{2\pi }{365}x-1.41=2.246150\Leftrightarrow x=212 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
27. januar 2019 af ringstedLC

4) 

\begin{align*} f(x)=34 &= 23.45\cdot \sin\left ( \frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41 \right )+34\Downarrow \\ 0 &= \sin\left ( \frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41 \right )\Downarrow \\ \sin^{-1}(0) &= \frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41\Downarrow \\ 0 = \frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41&\vee \pi = \frac{2\pi}{365}\cdot x-1.41\Downarrow \\ \frac{1.41\cdot 365}{2\pi} = x&\vee \frac{(\pi+1.41)\cdot 365}{2\pi} = x\Downarrow \\ x=82\approx23.\;marts&\vee x=264\approx21.\;september \end{align*}


Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner - Solens maksimale højde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.