Matematik

Bestemmelse af E1 og E2

31. marts 2019 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Kan man bestemme $E_{1}$ og $E_{2}$ ud fra

$\sigma (\tau )=\varepsilon _{o}*E_{2}*cos(\omega \tau )+\varepsilon _{o}*E_{1}*sin(\omega \tau )$

Eller ud fra

$\sigma =\varepsilon _{o}*E_{2}*\sqrt{1-\frac{\varepsilon ^{2}}{\varepsilon _{o}^{2}}}+\varepsilon *E_{1}$

Sig endelige hvad der skal til for at man kan finde $E_{1}$ og $E_{2}$ . Kan man måske bruge lineær algebra til dette?

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. marts 2019 af peter lind

Det er en funktion, så det kan man ikke med mindre man har nogen funktionsværdier til værdier af τ mindst to

Svar #2
31. marts 2019 af Yipikaye

Lad os antage at vi har en masse T-værdier samt funktionsværdier. Hvordan finder man så konstanterne

$E_{1}$ og $E_{2}$ ?

Skal man bruge noget lineær algebra eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. marts 2019 af oppenede

$\\\begin{pmatrix}\sigma(\tau_1)\\\sigma(\tau_2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \varepsilon_0\sin(\omega\tau_1) & \varepsilon_0\cos(\omega\tau_1)\\ \varepsilon_0\sin(\omega\tau_2) & \varepsilon_0\cos(\omega\tau_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_1\\E_2\end{pmatrix} \\[0.2cm] \begin{pmatrix} \varepsilon_0\sin(\omega\tau_1) & \varepsilon_0\cos(\omega\tau_1)\\ \varepsilon_0\sin(\omega\tau_2) & \varepsilon_0\cos(\omega\tau_2) \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\sigma(\tau_1)\\\sigma(\tau_2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_1\\E_2\end{pmatrix} \\[0.2cm] \begin{pmatrix} \cos(\omega\tau_2)\csc(\omega(\tau_1-\tau_2))/\varepsilon_0 & \cos(\omega\tau_1)\csc(\omega(\tau_2-\tau_1))/\varepsilon_0 \\ \sin(\omega\tau_2)\csc(\omega(\tau_2-\tau_1))/\varepsilon_0 & \sin(\omega\tau_1)\csc(\omega(\tau_1-\tau_2))/\varepsilon_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sigma(\tau_1)\\\sigma(\tau_2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}E_1\\E_2\end{pmatrix}$

Svar #4
31. marts 2019 af Yipikaye

Det her ser altså meget interessant ud. Nu fornemmer jeg altså at vi er på rette spor. Jeg vil lige høre om det er i orden hvis jeg skriver tilbage i morgen i samme tråd, såfremt jeg har yderligere spørgsmål til dette. I det klokken er ved at være mange.

Svar #5
01. april 2019 af Yipikaye

Hej

Jeg har 3 spørgsmål til det ovenfor stående.

1) Skal $\omega$ og $\varepsilon _{o}$ kendes på forhånd for at kunne bestemme $E_{1}$ og $E_{2}$ ?

2) Hvad gør man ved flere T-værdier? Det ser ud til at der kun er 2 T-værdier i det ovenfor stående.

3) Kan man erstatte cos, sin og csc med noget andet? f.eks.

$sin(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ ?

$cos(x)=\frac{x}{1}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

1) De skal være kendt på forhånd.

2) Der er en metode, hvor man optimerer løsningen, når der er flere T-værdier. Jeg kan ikke huske detaillerne, men det er noget med at indføre nogle hjælpevariable og så finde de E-værdier, der er optimale. Det er noget i stil med lineær regression.

3) du kan ikke erstatte cos(x) med x/1 ( og silsvarende for sin(x)). Du kan derimod indføre nog nye størrelser C_i = ε₀*cos(ωT_i) og S_i = ε₀*sin(ωT_i). Dem regner du ud inden du stiller ligningerne op.

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Jeg har set lidt nærmere på det.

Jeg ved ikke, om du kender udledningen af lineær regression. Det er den samme teknik, du skal bruge, dog med 2 dimensioner i stedet for 1:

Du starter med at omskrive ligningen ved at indføre C_i = ε₀*cos(ωT_i) og S_i = ε₀*sin(ωT_i). Desuden indfører du d_i som er defineret som d_i = σ(T_i) - (E₁*C_i + E₂*S_i).

Der er et d_i for hvert målepunkt du har. Opgaven går så ud på at finde et sæt E₁,E₂, hvor kvadratsummen af d_i'erne er mindst mulig, altså minimere

$\sum_{i=1}^{n} d_{i}^{2}$

Udtrykket for d_i indsættes og de to partielle afledede med hensyn til E₁ og E₂ regnes ud. De er begge 0, når summen er minimal. Det giver to ligninger med E₁ og E₂ som ubekendte. De løses og du har resultatet.

Gennemfør beregningerne med bogstaver indtil du har de to ligninger. Du vil så kunne stille det hele op i et regneark og lade det om at finde de endlige løsninger.

Svar #8
06. april 2019 af Yipikaye

Hej igen

Håber ikke det er for sent at jeg skriver tilbage i denne tråd. Det der står ovenover er meget udførligt beskrevet, men alligevel volder det mig en del problemer.

Jeg er med på at vi indfører følgende to partiellle afledede

$C_{i}=\varepsilon _{o}*cos(\omega \tau _{i} )$

$S_{i}=\varepsilon _{o}*sin(\omega \tau _{i} )$

Og at vi regner alle disse værdier ud. (Det går nok hurtigst i Excel)

Til sidst er jeg kommet frem til at di må være lig med nedestående udtryk.

$d_{i}=\sqrt{\left ( \sigma (\tau _{i} )-C_{i} \right )^{2}+\left ( \sigma (\tau _{i} )-S_{i} \right )^{2}}$

Men ved ikke om det er rigtigt.

Derefter, så vidt som jeg har forstået, skal den pågældende di-værdi opløftes i anden. Dette gøres ved samtlige di-værdier hvorefter disse lægges sammen til én sum.

Derefter laves en matrice som ser ud på følgende måde

$\begin{pmatrix} d_{i} &C_{i} &\sigma (\tau )-C_{i} \\ S_{i} &d_{i} &\sigma (\tau ) -S_{i} \end{pmatrix}$

Hvor man har 2 ligninger med 2 ubekendte. De 2 di´er i matricen giver 1 efter Gauss-elimination og de 2 partielle afledede nemlig $C_{i}$ og $S_{i}$ giver 0 efter Gauss-elimination.

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Derer ingen grund til at forsøge at regne d_i ud, du har det allerede. Det er: d_i = σ(T_i) - (E₁*C_i + E₂*S_i).

Du skal kvadrere udtrykket. Derefter skal du differendiere det med hensyn til E₁ og med hensyn til E₂.

Så får du de to ligninger, du har brug for.

Svar #10
07. april 2019 af Yipikaye

Kan det passe at de to ligninger ser sådan her ud

$d_{i}^{2}=-2E_{1}*C_{i}^{2}$

$d_{i}^{2}=-2E_{2}*S_{i}^{2}$

Hvilket giver følgende ved omrokering

$E_{1}=\frac{d_{i}^{2}}{-2C_{i}^{2}}$

$E_{2}=\frac{d_{i}^{2}}{-2S_{i}^{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Nej, hvor har du gjort af σ(T_i)? Det er jo den værdi, du har målt!

$\\d_{i} = \sigma (T_{i}) - (E_{1}\cdot C_{i} + E_{2}*S_{i})\\ d_{i}^{2} = (\sigma (T_{i}) - (E_{1}\cdot C_{i} + E_{2}*S_{i}))^{2}=\\ \sigma(T_{i})^2 + (E_{1}\cdot C_{i})^{2} + ( E_{2}\cdot S_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot E_{1}\cdot C_{i} - 2\cdot \sigma(T_{i})\cdot E_{2}*S_{i} + 2\cdot E_{1}\cdot C_{i}\cdot E_{2}*S_{i}$

Dette summerer du:

$\\ D = \sum_{i=1}^n (\sigma(T_{i})^2 + (E_{1}\cdot C_{i})^{2} + ( E_{2}\cdot S_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot E_{1}\cdot C_{i} - 2\cdot \sigma(T_{i})\cdot E_{2}*S_{i} + 2\cdot E_{1}\cdot C_{i}\cdot E_{2}*S_{i})$

E₁ og E₂ skal nu bestemmes sådan at D bliver minimal. Derfor differentieres D nu med hensyn til E₁:

$\\ \frac{\partial D }{\partial E_{1}} = \sum_{i=1}^n (2 E_{1}\cdot (C_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot C_{i} + 2\cdot C_{i}\cdot E_{2}*S_{i})$

og tilsvarende for E₂:

$\\ \frac{\partial D }{\partial E_{2}} = \sum_{i=1}^n (2 E_{2}\cdot (S_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot S_{i} + 2\cdot S_{i}\cdot E_{1}*C_{i})$

De to afledede skal begge være 0:

$\\ \frac{\partial D }{\partial E_{1}} = \sum_{i=1}^n (2 E_{1}\cdot (C_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot C_{i} + 2\cdot C_{i}\cdot E_{2}*S_{i}) = 0\\ \frac{\partial D }{\partial E_{2}} = \sum_{i=1}^n (2 E_{2}\cdot (S_{i})^{2} -2\cdot \sigma(T_{i})\cdot S_{i} + 2\cdot S_{i}\cdot E_{1}*C_{i}) = 0\\$

Brugbart svar (0)

Svar #12
07. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Hver af summerne kan opdeles i de enkelte led og 2 kan divideres væk:

$\\ \sum_{i=1}^{n} E_{1}\cdot C_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{n}\sigma(T_{i})\cdot C_{i} + \sum_{i=1}^{n} C_{i}\cdot E_{2}\cdot S_{i} = 0\\ \sum_{i=1}^{n}E_{2}\cdot S_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{n} \sigma(T_{i})\cdot S_{i} + \sum_{i=1}^{n} S_{i}\cdot E_{1}\cdot C_{i} = 0$

I disse ligninger kan E₁ og E₂ sættes udenfor summerne. Derved fremkommer der to ligninger med E₁ og E₂ som ubekendte.

Svar #13
07. april 2019 af Yipikaye

Hej igen

Bare glem det sidste som jeg skrev for jeg tror nemlig omsider at jeg har forstået opgaven.

Jeg får

$E_{1}=\frac{\sigma (\tau )+S_{i}*E_{2}}{C_{i}}$

Skriv et svar til: Bestemmelse af E1 og E2

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.