Matematik

Redegørelse for beregning af vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunkter på kurven for vektorfunktioner

24. maj kl. 16:58 af Grubbeh - Niveau: A-niveau

Jeg er blevet givet et spørgsmål til den mundtlige eksamen;

"Redegørelse for beregning af vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunkter på kurven for vektorfunktioner"

Men kan hverken finde noget om det i mine notater fra undervisningen, i den bog der er udleveret eller google.

Er der nogen der kan forklare det, eller pege mig hen mod et sted med information om dette emne?


Brugbart svar (0)

Svar #1
24. maj kl. 17:13 af oppenede

Brug formlen for vinklen mellem to vektorer. De to vektorer du skal indsætte i formlen er kurvens retningsvektorer ved de to t-værdier hvor vektorfunktionen antager dobbeltpunktet.


Brugbart svar (1)

Svar #2
24. maj kl. 17:16 af Capion1

Benyt cos formlen for vinklen mellem de to retningsvektorer for tangenterne, (x'(t1) , y'(t1))  og  (x'(t2) , y'(t2))
hvor  (x(t1) , y(t1)) = (x(t2) , y(t2))


Brugbart svar (1)

Svar #3
24. maj kl. 17:20 af mathon

eks.


Brugbart svar (1)

Svar #4
24. maj kl. 17:32 af mathon

          \small \small \small \begin{array}{llll}a)& \overrightarrow{r}(-2)=\begin{pmatrix} (-2)^3-12(-2)\\(-2)^2-2(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16\\8 \end{pmatrix}\\\\ &{t_o}^2-2t_o=8\qquad x\neq-2\\\\ &{t_o}^2-2t_o-8=0\\\\ &t_o=4 \\\\ &\overrightarrow{r}(4)=\begin{pmatrix} 4^3-12\cdot 4\\4^2-2\cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16\\8 \end{pmatrix} \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #5
24. maj kl. 18:18 af mathon

          \small \small \begin{array}{llll}b)& \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} 3t^2-12\\2t-2 \end{pmatrix}\\\\ & \overrightarrow{r}{\, }'(-2)=\begin{pmatrix} 3\cdot (-2)^2-12\\2\cdot (-2)-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-6 \end{pmatrix}\\\\ & \overrightarrow{r}{\, }'(4)=\begin{pmatrix} 3\cdot 4^2-12\\2\cdot 4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36\\6 \end{pmatrix} \end{array}\small \small \small \small \begin{array}{llll}& \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} 3t^2-12\\2t-2 \end{pmatrix}\\\\ \textup{retningsvektorer}\\ \textup{for tangenterne i Q:} & \overrightarrow{r}{\, }'(-2)=\begin{pmatrix} 3\cdot (-2)^2-12\\2\cdot (-2)-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-6 \end{pmatrix}\\\\ & \overrightarrow{r}{\, }'(4)=\begin{pmatrix} 3\cdot 4^2-12\\2\cdot 4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36\\6 \end{pmatrix}\quad\textup{og dermed }\begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix}\\\\ \textup{tangentvinkel:}&v_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\left | \begin{pmatrix} 0\\-6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix}\right |}{6\cdot \sqrt{37}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{1}{\sqrt{37}} \right )=80.5\degree \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
24. maj kl. 18:31 af mathon

\small \small \begin{array}{llll} \textup{korrektion for rod:}\\\\ b)& \overrightarrow{r}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} 3t^2-12\\2t-2 \end{pmatrix}\\\\ \textup{retningsvektorer}\\ \textup{for tangenterne i Q:} & \overrightarrow{r}{\, }'(-2)=\begin{pmatrix} 3\cdot (-2)^2-12\\2\cdot (-2)-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-6 \end{pmatrix}\\\\ & \overrightarrow{r}{\, }'(4)=\begin{pmatrix} 3\cdot 4^2-12\\2\cdot 4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36\\6 \end{pmatrix}\quad\textup{og dermed }\begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix}\\\\ \textup{tangentvinkel:}&v_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\left | \begin{pmatrix} 0\\-6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix}\right |}{6\cdot \sqrt{37}} \right )=\cos^{-1}\left ( \frac{1}{\sqrt{37}} \right )=80.5\degree \end{array}


Svar #7
24. maj kl. 18:40 af Grubbeh

Mange tak for de hurtige svar, og det er et rigtigt fint eksempel. Det giver rigtig god mening. Det kunne ikke tænkes du havde en kilde på denne type beregning med matematisk forklaring eller noget lignende? Bare så jeg er sikker på at få terminologien korrekt sagt.

Og egentligt, hvor kommer det der står i nævneren fra? Er det resultatet af længden af de to vektorer?


Brugbart svar (0)

Svar #8
24. maj kl. 18:53 af mathon

\small \begin{array}{lll} \textup{vinklen mellem }\\ \textup{vektorerne }\overrightarrow{a}\textup{ og }\overrightarrow{b}\\\\ \textup{er:}&v=\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\cdot\frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |} \right ) =\cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |} \right ) \end{array}


Svar #9
24. maj kl. 18:56 af Grubbeh

Super, tak.


Brugbart svar (0)

Svar #10
08. juni kl. 16:03 af hejmedjer1239

Hastighedsvektor og tangentvektor er vel det samme? Så vi bruger vel samme metode til at beregne vinklen mellem 2 hastighedsvektorer i et dobbeltpunkt.


Skriv et svar til: Redegørelse for beregning af vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunkter på kurven for vektorfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.