Matematik

Bestemmelse af C1 og C2 ud fra den generelle løsning til en anden ordens differential ligning

16. juni kl. 17:22 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan finder man C1 og C2 hvis man har den generelle løsning for en anden ordens differential ligning?

y=e^{\frac{6\pi r\mu }{2m}}*C_{2}*cos(\frac{\sqrt{-36\pi ^{2}r^{2}\mu ^{2}+4mk}}{2m}x)+C_{1}*sin(\frac{\sqrt{-36\pi ^{2}r^{2}\mu ^{2}+4mk}}{2m}x)

Lad os sige at r, my, m og k er fastlagte konstanter dvs kendes altså på forhånd.

Kan man måske via matematisk manipulation omskrive ovenfor nævnte udtryk til nedestående udtryk? Og såfremt at man kan, vil der så være nogle forbedrede muligheder for at kunne beregne C1 og C2?

y=C_{2}*cos\left ( \sqrt{\left ( \sqrt{\frac{k}{m}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{\frac{6\pi r\mu }{2m}} \right )^{2}}x+\varphi \right )+C_{1}*sin\left ( \sqrt{\left ( \frac{k}{m} \right )^{2}+\left ( \frac{6\pi r\mu }{2m} \right )^{2}}x+\varphi \right ) 


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni kl. 17:44 af peter lind

Så skal man kende noget mere, typisk sted og hastighed til tiden 0.

Man kan matematisk bevise at Acos(ωx)+Bcos(ωx) kan skrives som Csin(ωx+φ)

1) sæt A ud foran en parentes

2) Sæt B/A = tan(φ)

3) Sæt 1/cos(φ) ud foran en parantes

4) Brug additionsformlen for sinus funktionen


Svar #2
16. juni kl. 18:18 af Yipikaye

Så den første formel kan altså omskrives til den anden formel?


Svar #3
16. juni kl. 18:20 af Yipikaye

Hov, jeg kan se at der er et kvadratsrodtegn for meget i formel nr. 2.


Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni kl. 19:06 af peter lind

Ja; men de er ikke interessant. Se det sdste udtryk i 2 linje i #1. Det kan skrives meget kortere


Svar #5
16. juni kl. 19:50 af Yipikaye

Skal jeg forstå det sådan at C1 og C2 eller rettere A og B ikke er særligt interessante. Men derimod så er C meget interesant.

Og C er givet ved følgende

C=\sqrt{(A^{2}+B^{2})}

Men fortsat er mit spørgsmål hvordan finder man A og B? Du Nævner i #1 at man skal kende sted og hastighed til tiden 0.

Derudover så skriver du A*cos(wx)+B*cos(wx)=C*sin(wx+ø)

Men mener du ikke A*cos(wx)+B*sin(wx)=C*sin(wx+ø)?


Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni kl. 20:22 af peter lind

Nej. Du skal forstå det sådan at funktionen kan beskrives ved en enkelt sinusfunktion Du behøver ikke at have både en sinusfunktion og en cosinusfunktion

Du har ret i at det er en fejl at jeg har fået skrevet at begge led med cosinusfunktion. Undskyld


Brugbart svar (0)

Svar #7
17. juni kl. 08:12 af mathon

Generelt:
                      \small \small \small \small \small \begin{array}{lllll} &c_1\cdot \cos(\omega t)+c_2\cdot \sin(\omega t)\; \wedge\; \tan(\varphi )=\frac{c_2}{c_1}\\\\ &c_1\left ( \cos(\omega t)+\frac{c_2}{c_1}\sin(\omega t) \right )\\\\ &c_1\left ( \cos(\omega t)+\frac{\sin(\varphi )}{\cos(\varphi )}\sin(\omega t) \right )\\\\ &\frac{c_1}{\cos(\varphi )}\left ( \cos(\omega t)\cos(\varphi )+\sin(\omega t)\sin(\varphi ) \right )\\\\ &c_1\cdot \frac{1}{\cos(\varphi )}\cos(\omega t-\varphi )\\\\ &c_1\cdot \sqrt{\frac{1}{\cos^2(\varphi )}}\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\\\ &c_1\sqrt{1+\tan^2(\varphi )}\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\\\ &c_1\cdot \sqrt{1+\frac{{c_2}^2}{{c_1}^2}}\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\\\ &\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\\\ &A\cdot \cos(\omega t-\varphi )\\\\ \textup{hvoraf:}&c_1\cdot \cos(\omega t)+c_2\cdot \sin(\omega t)=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cdot \cos(\omega t-\varphi )=A\cos(\omega t-\varphi ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #8
17. juni kl. 08:31 af mathon

endvidere
                    \small \small \begin{array}{lllll} A\cos(\omega t-\varphi )=A\sin(\omega t-\varphi +\frac{\pi }{2})=A\sin(\omega t+\varphi _1) \end{array}


Svar #9
17. juni kl. 10:50 af Yipikaye

Hej igen

Og tak for svar. Lige en sidste ting inden jeg afslutter denne tråd.

Kan man isolere faseforskydningen i ovenfor nævnte udtryk?

y=A*sin(\omega t+\varphi _{1})


Brugbart svar (0)

Svar #10
17. juni kl. 11:24 af mathon

                      \small \begin{array}{llll} \frac{y}{A}=\sin(\omega t+\varphi _1)\\\\ \omega t+\varphi _1=\sin^{-1}\left ( \frac{y}{A} \right )\\\\ \varphi _1=\sin^{-1}\left ( \frac{y}{A} \right )-\omega t \end{array}


Skriv et svar til: Bestemmelse af C1 og C2 ud fra den generelle løsning til en anden ordens differential ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.