Matematik

Bevis af Toppunkt af andengradspolynomiet uden brug af differentialregning

21. juni 2019 af Munuka579 - Niveau: B-niveau

Hej, jeg sidder og er ved at lave dispostioner til min matematik muntdlige eksamen. et af spørgsmålene er at jeg skal bevise formlen for toppunktet af andengradspolynomiet, uden brug af differentilaregning. Men jeg kan simpelthen ikke finde noget brugbart. Det kan ske at min lærer har sat et trickspørgsmål ind, men jeg føler dog at det burde være muligt af bevise. Jeg skal også bevise med hjælp af differntialregning, men det har jeg styr på. Dog vil jeg påskønne atl hjælp angående bevis uden differentialregning.


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. juni 2019 af PeterValberg

Prøv lige at se video nr. 11, 12, 13 og 14 på denne videoliste < LINK >
det kan jo være, at der er lidt hjælp at hente i dem

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. juni 2019 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{2. gradsfunktionen}&f(x)=ax^2+bx+c\quad a\neq0\\\\ &f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\\\ &f(x)=a\left ( x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a } \right )+c\\\\ &f(x)=a\left ( x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a }+\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a^2} \right )+c\\\\ &f(x)=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2 -\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}\\\\ &f(x)=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\\\\ &f(x)=a\left ( x-\frac{-b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a}\\\\ \textup{som er parablen}&f(x)=ax^2\quad\textup{med}\quad \textup{toppunkt} \quad\textup{ (0,0)}\\\\ \textup{parallelforskudt}\\ \textup{over i parablen}&f(x)=ax^2+bx+c\quad\textup{med}\quad \textup{toppunkt}\quad \left ( \frac{-b}{2a},\frac{-d}{4a} \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #3
22. juni 2019 af mathon

detaljer:

parallelforskydning af grafen y = a·x2:

\small \begin{array}{lllll} \textup{grafen/parablen for}&\left \{(x,y)\mid f(x)=y=ax^2 \right \}\\\\ \textup{p-forskydes med vektor }\textbf{p}=\bigl(\begin{smallmatrix} h\\k \end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \textup{s\aa }&\begin{matrix} x'=x+h\\y'=y+k \end{matrix}\\ \textup{dvs}\\ &\begin{matrix} x=x'-h\\y+k=y' \end{matrix}\\\\ &\left \{ (x',y')\mid y'=a(x'-h)^2+k \right \} \end{array}

Når det ikke længere er essentielt at skelne graferne fra hinanden undlades mærkningen:

\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{den forskudte parabel}&\left \{ (x,y)\mid y=a(x-h)^2+k\right\} \\ \textup{hvoraf:}\\&y=a(x-h)^2+k\\\\ &y=ax^2-2ahx+(ah^2+k)&\textup{som er noget ubekvem at memorere}\\\\ \textup{hvorfor man \o nsker}&y=\mathbf{ax^2+bx+c}\\ \textup{hvilket kr\ae ver:}\\ &-2ah=b\\\\ &h=\frac{-b}{2a}\\\\ &a\cdot \left ( \frac{-b}{2a} \right )^2+k=c\\\\ &k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{-d}{4a}\\\\ \textup{dvs}&y=a(x-h)^2+k=a(x-\frac{-b}{2a})^2+\frac{-d}{4a} \ \end{array}


Skriv et svar til: Bevis af Toppunkt af andengradspolynomiet uden brug af differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.