Matematik

Rødder i polynomier

03. august kl. 11:39 af Capion1 - Niveau: A-niveau

Det er velkendt, at ethvert polynomium af grad n over de komplekse tals legeme har højst n rødder
og netop n rødder regnet med multiplicitet. 
Hvordan beviser vi, at polynomiet
    z3 - z2 = 0
ingen komplekse rødder har, men at roden z = 0 er en dobbeltrod?
 


Brugbart svar (0)

Svar #1
03. august kl. 11:44 af mathon

             \begin{array}{lllll} z^3-z^2=0\\\\ z^2(z-1)=0\\\\(z-0)(z-0)(z-1) =0\\\\z=\left\{\begin{array}{llll} 0\\0\\1 \end{array}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #2
03. august kl. 11:46 af Soeffi

#0. Du benytter: z3 - z2 = 0 ⇔ (z - 1)·z2 = 0 og bruger nul-reglen, der også gælder for komplekse tal.


Svar #3
03. august kl. 11:48 af Capion1

Roden z = 1 er jo indlysende klar.
z = 0 ligeledes. Men hvordan ser vi, at z = 0 optræder to gange i faktoren z2 ?


Brugbart svar (0)

Svar #4
03. august kl. 11:55 af Soeffi

#3. Enten som vist i #1 eller ved at lave polynomiernes division. 

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. august kl. 11:25 af oppenede

... eller ved at differentiere indtil værdien i z = 0 ikke er 0 længere.


Skriv et svar til: Rødder i polynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.