Matematik

Bestem polynomium

29. september 2019 af nera - Niveau: A-niveau

Jeg skal skubbes lidt igang med denne opgave :)

Jeg skal bestemme et polynomium p(x) med reelle koefficienter og med lavest mulig grad. Den har rødderne 10 og -11, hvor den sidstenævnte har en multiplicitet på 2. Polynomiet skal skrives som et produkt af reelle førstegradspolynomier, og reelle andengradspolynomier uden reelle rødder.

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. september 2019 af swpply (Slettet)

Du skal altså bestmme koefficienterne a_n således at

$p(x) = a_0(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_N)$

har en enkelt rod i x=10 og en dobelt rod x=-11. At p(x) er det polyninomium af laveste grad der opfylder dette, betyder at p(x) er et tredjegradspolynomium (hvorfor?) og derfor er på formen

$p(x) = a_0(x-a_1)(x-a_2)^2$

Nu bør det være indlysende at (a₁,a₂) = (10,-11) samt at a₀ er en arbitrær reel konstant. Du har altså en uendelig familie af tredjegradspolynomiumer der opfylder ovenstående betingelse.

Svar #2
29. september 2019 af nera

Jeg fik ikke helt fat på hvordan du når frem til polynomiet i sig selv

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. september 2019 af swpply (Slettet)

At du kan skrive et hvilket som helst n'te-grads polynomium på formen

$p(x) = a_0(x + a_1)(x + a_2)\ldots(x + a_n)$

fælger trivielt ved blot at gange samtlige parenteser ud. Hvorved at du finder

$p(x) = a_0x^n + a_0(a_1+a_2+\ldots+a_n)x^{n-1}+\ldots+a_0a_1a_3\dots a_n$

altså den generelle form for et n'te-grads polynomium.

Det heder også at faktorisere polynomiet af åbenlyse grunde.

Svar #4
29. september 2019 af nera

Aha altså ud fra beskrivelsen kan man lede til at vi har en andengradspolynomie som kan opskrives som $p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)^2$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. september 2019 af swpply (Slettet)

#4
Aha altså ud fra beskrivelsen kan man lede til at vi har en andengradspolynomie som kan opskrives som $p(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)^2$ ?

Bemærk at dette er et tredjegradspolynomium og ikke et andengradspolynomium.

At der er tale om et tredjegradspolynomium følger af algebraen fundementalsætning idet at et generalt andengradspolynomium vil have maksimum 2 reelle røder og at et generalt tredjegradspolynomium vil have maksimum 3 reelle røder. Hvorfor, idet det oplyses at polynomiet vi søger har tre rødder, vi altså skal finde et tredjegradspolynomium. Dette gøres lettest ved at faktorisere forskriften for et tredjegradspolynomium, dvs. vi skriver tredjegradspolynomium på formen

$p(x) = a_0(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$ .

Fordellen ved denne skriveform er at det trvielt indses at x = a₁, x = a₂ og x = a₃ er samtlige rødder for det givne tredjegradspolynomium. Så er det jo blot at indsette at a₁ = 10, a₂ = -11 og a₃ = -11. Hvorfor vi har at

$p(x) = a_0(x-10)(x+11)^2$

Svar #6
29. september 2019 af nera

den har kun rødderne 10 og -11, hvor sidstnævnte har en multiplicitet på 2, hvordan kan det så blive et tredjegradspolynomium?

Svar #7
29. september 2019 af nera

Ah, nu forstår jeg

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. september 2019 af swpply (Slettet)

At roden x = -11 har multiplicitet 2 betyder præcist at x = -11 er en dobbelt rod. Altså har polinomiet du søger tre rødder, nemlig den enkelte rod i x = 10 og dobbeltroden i x = -11.

Hvis du er itvivl kan du jo altid konstatere at funktionen

$p(x) = a_0(x-10)(x+11)^2$

har de ovenfor angivne tre rødder (husk på nulreglen). Samt at det er et tredjegradspolynomium ved at gange det ud, hvorfor du finder at

$p(x) = a_0(x-10)(x+11)^2 = a_0(x^3 + 12x^2 - 99x - 1210)$

altså forskriften for et tredjegradspolynomium.

Svar #9
29. september 2019 af nera

Så man kan sige, idet at man har at gøre med 2 rødder hvor den ene har multiplicitet 2, kan man skrive et tredjegradspolynomie op som:

$p(x)=a_0(x-10)(x+11)^2$ ?

Skriv et svar til: Bestem polynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.