Matematik

arealet bestemmelse vha. integralregning.

04. oktober 2019 af Bygningsingeniør - Niveau: A-niveau

Hej SP

Håber i kan vejlede mig med følgende opgave

En funktion f er bestemt ved f (x)=x−2⋅√x , x≥0 .
I fjerde kvadrant afgrænser grafen for f sammen med førsteaksen en punktmængden M, der har et areal.
jeg ved ikke hvad er min integrationsgrænserne.??a) Bestem arealet af M vha. integralregning.

I første kvadrant afgrænser grafen for f sammen med linjerne y=3 og x=k ( k >9 ) en punktmængde N.
b) Bestem tallet k , så arealet af N to gange større end arealet for M.

Mange tak på forhånd og God weekend!!

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. oktober 2019 af Bibo53

a) Find integrationsgrænsen $x_0>0$ ved at løse ligningen $f(x_0)=0$ .

b) Vis at $f(x)<3$ for $x<9$ og $f(x)>3$ for $x>9$ , hvorfor arealet af $N$ er

$\int_{x_0}^9 f(x)\,dx+(k-9)\cdot 3$

Svar #2
04. oktober 2019 af Bygningsingeniør

#1
a) Find integrationsgrænsen $x_0>0$ ved at løse ligningen $f(x_0)=0$ .

b) Vis at $f(x)<3$ for $x<9$ og $f(x)>3$ for $x>9$ , hvorfor arealet af $N$ er

$\int_{x_0}^9 f(x)\,dx+(k-9)\cdot 3$

mange takk

Svar #3
04. oktober 2019 af Bygningsingeniør

men kan du uddybbe lidt mere til b

#1
a) Find integrationsgrænsen $x_0>0$ ved at løse ligningen $f(x_0)=0$ .

b) Vis at $f(x)<3$ for $x<9$ og $f(x)>3$ for $x>9$ , hvorfor arealet af $N$ er

$\int_{x_0}^9 f(x)\,dx+(k-9)\cdot 3$

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. oktober 2019 af Bibo53

Arealet af $N$ er jo

$\int_{x_0}^9 f(x)\,dx+\int_9^k 3\,dx$ ,

idet grafen for $f$ skærer linjen $y=3$ i punktet (9,3).

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. oktober 2019 af ringstedLC

Arealet af N kan bestemmes som i #4:

$\begin{align*} N=2\cdot M &= \int_{x_0}^{9}f(x)\,dx+\int_{9}^{k}3\,dx\;,\;f(x_0)=0\;,\;x_0>0 \\ 2\cdot \left |\int_{0}^{x_0}f(x)\,dx \right | &= \int_{x_0}^{9}f(x)\,dx+\int_{9}^{k}3\,dx \\ 2\cdot \bigl |F(x_0)-F(0) \bigr | &= F(9)-F(x_0)+3k-3\cdot 9 \\ 2\cdot \left (-F(x_0) \right )+F(x_0)-F(9)+27 &= 3k\;,\;F(x_0)<0\;,\;F(0)=0 \\ -F(x_0)-F(9)+27 &= 3k \\ k &= \frac{-F(x_0)-F(9)}{3}+9 \\ &= \frac{-\left (-\tfrac{8}{3} \right )-\tfrac{9}{2}}{3}+9 \\ k&= \tfrac{151}{18}\approx 8.39\text{ forkastes, da }k<9 \end{align*}$

men giver ingen løsning for k.

b) Bestem i stedet arealet af N som:

$\begin{align*} N=2\cdot M &= \int_{9}^{k}\left (f(x)-3 \right )\,dx\;,\;f(x_0)=0\;,\;k>9\;,\;x_0>0 \\ 2\cdot \left |\int_{0}^{x_0}f(x)\,dx \right | &= \int_{9}^{k}f(x)\,dx- \int_{9}^{k}3\,dx \\ k=12.94&\vee k=4.9\text{ forkastes} \\ k &= 12.94 \end{align*}$

Vedhæftet fil:__0.png

Skriv et svar til: arealet bestemmelse vha. integralregning.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.