Matematik

Bestem A/Linjeelement/Hvilken differentialligning

14. oktober 2019 af IMBN3 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

En opgave lyder således:

"Linieelementet i punktet (x,y) = (π,2) for di?erentialligningen
dy/dx = Ay(cosx + 2)
har hældningen 12 for en vis værdi af A. Bestem A."

Hvilken differentialligning har jeg med at gøre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. oktober 2019 af swpply (Slettet)

Differentialligningen

$y^\prime(x) = Ay(x)(\cos x + 2)$

er en 1. ordens homogen lineær differentialligning. Hvilket tydeligt ses ved at skrive den på standformen

$y^\prime(x) - A(\cos x + 2)y(x) = 0$ .

Den kan altså løses ved Panserformlen.

Svar #2
14. oktober 2019 af IMBN3 (Slettet)

Kan du hjælpe mig lidt videre? Skal jeg f.eks. gange A ind i parentesen, inden jeg begynder udregningen? Og hvad vil stamfunktionen af A(cos x + 2) i så fald være?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. oktober 2019 af swpply (Slettet)

Du spurgte om hjælp til at type bestemme differentialligningen, hvilket jeg besvaret i #1. Men husk, at du ikke behøves at løse differentialligningen for at bestemme A (givet den information du har fået oplyst). Du har oplyst at y’(pi) = 12 samt at (x,y) = (pi,2), hvorfor at du ved substitution af denne information ind i din differentialligning har at 12 = A*2*(cos(pi)+2). Løser du derfor denne ligning, finder du at A = 6.

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. oktober 2019 af swpply (Slettet)

For en ordens skyld kan du bestemme løsningen differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelsen (x,y) = (π,2) ved følgende beregning:

$\begin{align*} 0 = y^\prime(x) - A(2 + \cos x)y(x) \quad&\Leftrightarrow\quad 0 = \frac{d}{dx}\bigg(y(x)e^{-A(2x+\sin x)}\bigg) \\ &\Leftrightarrow\quad 0 = \int_\pi^x \frac{d}{dt}\bigg(y(t)e^{-A(2t+\sin t)}\bigg)dt \\ &\Leftrightarrow\quad 0 = y(x)e^{-A(2x+\sin x)} - y(\pi)e^{-A(2\pi+\sin\pi)} \\ &\Leftrightarrow\quad y(x) = 2e^{A(2(x-\pi)+\sin x)} \end{align*}$

Svar #5
15. oktober 2019 af IMBN3 (Slettet)

Mange tak :)

Svar #6
15. oktober 2019 af IMBN3 (Slettet)

A=2

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. oktober 2019 af swpply (Slettet)

#6
A=2

Nej se #3. Du bestemmer A ved følgende udregning

$\begin{align*} y^\prime( \pi) = A\cdot y(\pi)\cdot\big(\cos(\pi)+2\big) \quad&\Leftrightarrow\quad 12 = A\cdot2\cdot(-1+2) \\ &\Leftrightarrow\quad 12 = 2A \\ &\Leftrightarrow\quad A = \frac{12}{2} = 6 \end{align*}$

Skriv et svar til: Bestem A/Linjeelement/Hvilken differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.