Matematik

Bestem konstanterne a,b og c

13. november 2019 af qwerty18 - Niveau: B-niveau

Opgaven lyder:

Bestem konstanterne a, b og c, når det det for alle x≠4 skal gælde, at

$\frac{ax^2+x+c}{bx+4}=5-x$ .

Hvordan skal jeg gribe denne opgave an? Jeg ved at facit skal være
$a=-1 \quad , \quad b=1 \quad , \quad c=20$ .

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2019 af AMelev

Der skulle vist stå x ≠ -4, skulle der ikke? Eller rettere x ≠ -4/b?

Gang på begge sider med b·x + 4 og reducer.
Når to polynomer skal være ens for alle x, skal koefficienterne stemme overens parvis:
a·x² + b·x + c = d·x² + e·x + f ⇔ a = d og b = e og c = f

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. november 2019 af StoreNord

Man kan også dividere på begge sider med 5-x.
Så får man 1 på højre side.
Og på venstre side får man en brøk, hvor polynomiet i nævneren skal være det samme som polynomiet i tælleren. Det gir 3 ligninger til at finde a,b,c med.

Svar #3
14. november 2019 af qwerty18

#1?
Der står godt nok x≠4 i opgaven.

Efter at have ganget med bx+4 på begge sider får jeg
$a x^{2}+x+c=5-x \cdot b x+4$
som jeg kan expandere til
$a x^{2}+x+c=9-b x^{2}$

Er dette korrekt, og i så fald, hvordan finder jeg a, b og c?

#2
Hvis man dividerer med 5-x på begge sider får man
$\frac{a x^{2}+x+c}{(x-5) \cdot(b x+4)}=1$ ,

hvad skal jeg gøre med denne ligning? Hvis jeg faktoriserer tælleren får jeg
$bx^{2}-5 \cdot bx+4x-20$ ,
Er ikke helt sikker på, hvad jeg skal gøre herfra.

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. november 2019 af StoreNord

Du skal gange tællerens parenteser sammen.
Så får du også i nævneren et polynomie.
Når du har ordnet tæller-polynomiet, kan du sammenligne koefficienterne i tælleren med dem i nævneren. De skulle være parvis ens. For eksempel er c=20.

Brugbart svar (1)

Svar #5
14. november 2019 af StoreNord

$\frac{a x^{2}+x+c}{(x-5) \cdot(b x+4)}=1\Leftrightarrow$
$\frac{a x^{2}+x+c}{5bx+bx^{2}+20-4x}=1\Leftrightarrow$
$\frac{a x^{2}+x+c}{-bx^{2}+(5b-4)x+20}=1$

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. november 2019 af ringstedLC

#3
Efter at have ganget med bx+4 på begge sider får jeg
$a x^{2}+x+c=5-x \cdot b x+4$

Den er gal:

$\begin{align*} \frac{ax^2+x+c}{bx+4} &= 5-x\;,\;x\neq 4 \\ ax^2+x+c &= (5-x)\cdot (bx+4)\;,\;x\neq -\tfrac{4}{b} \\ ax^2+x+c &= 5bx+20-bx^2-4x \\ ax^2+(1)x+c &= -bx^2+(5b-4)x+20 \\ a=-b\;,\;1 &= 5b-4\;,\;c=20 \\ b &= 1 \end{align*}$

Jeg tror, at du har skrevet a facit forkert.

Brugbart svar (1)

Svar #7
14. november 2019 af AMelev

Ad #6 Den er god nok. b = 1, a = -b = -1.

#3
Der står godt nok x≠4 i opgaven. OK, men det er formentlig en smutter - spørg din lærer. Med b = 1, burde det i hvert fald være x ≠ -4, så du ikke kommer til at dividere med 0.

Efter at have ganget med bx+4 på begge sider får jeg
$a x^{2}+x+c=5-x \cdot b x+4$ Nej, du skal jo få det samme her, som i nævneren nedenfor, da det er samme produkt, du skal beregne.

Hvis man dividerer med 5-x på begge sider får man
$\frac{a x^{2}+x+c}{(x-5) \cdot(b x+4)}=1$ ,

hvad skal jeg gøre med denne ligning? Hvis jeg faktoriserer tælleren Det gør du ikke - tværtimod reducerer du nævneren
$bx^{2}-5 \cdot bx+4x-20$ ,
Er ikke helt sikker på, hvad jeg skal gøre herfra. Se #6

Svar #8
14. november 2019 af qwerty18

#6
Okay, forstår det næsten nu. Er dog ikke helt sikker på, hvordan du bestemmer b værdien.

Hvordan går du fra
$ax^2+x+c=5bx+20-bx^2-4x$
og så laver b værdien om til
$(5b-4)x$ ,
hvorefter denne bliver lavet om til 1? Hvordan kan du bare afskaffe b'et?

Brugbart svar (1)

Svar #9
14. november 2019 af AMelev

#8 På venstre side står x, altså 1x, så 5b - 4 = 1. Løs den ligning mht. b.

Svar #10
14. november 2019 af qwerty18

Ahh! Super, mange tak for hjælpen til jer begge 2! :)

Skriv et svar til: Bestem konstanterne a,b og c

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.