Matematik

Tal

07. april kl. 17:39 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Vi ved at de rationale tal Q er tællelige... De irrationale tal I er overtællelige...

Både Q og I er tætte i R.

Bevis for Q er tæt i R har jeg set... Men beviset for I er tæt er således.

Der er rationale tal r1 og r2 sådan at

a < r1 < r2 < b

Lad

t = r1 + (1/√2)·(r2 - r1)

Derved er t irrational og r1 < t < r2, så vi har a < t < b.

Altså. Det hele bunder i 2 rationale tal. Mit spørgsmål er nu...
Kan 2 irrationale tal (eller ∞ antal irrationale) derfor ligge ved siden af hinanden i R?

Umiddelbart er mit gæt ja, og det bør de - men omvendt, så betyder det, at hvis jeg vælger i1 og i2 til at være disse to irrationale tal, så vil Q ikke være tæt - og derfor er det ikke sandt...


Brugbart svar (1)

Svar #1
07. april kl. 17:47 af oppenede

Antag at i1 og i2 er irrationelle tal ved siden af hinanden. Da er r = (i1+i2)/2 et tal i R, som opfylder i1 < R < i2. Dvs. i1 og i2 ikke ligger ved siden af hinanden i R.

Dvs. de kan kun ligge ved siden af hinanden hvis de ikke gør det, hvilket betyder de ikke eksisterer.


Svar #2
08. april kl. 07:03 af Stats

Ok... Du har vist at de ikke kan ligge ved siden af hinanden da iL = i1 + (i1 + i2)/2, så vil

i1 < iL < i2

Det viser vel blot at der er en overtællelig mængde af irrationale tal mellem de rationale tal?

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #3
08. april kl. 07:18 af Stats

Modstrid:

Antag at der findes en tællelig mængde af irrationale tal mellem ethvert rationalt tal.
Og da Q er tællelig, så ville vi også have at I er tællelig...  Dette fører til en modstrid
idét vi ved at I er overtællelig...

Tusind tak! :)

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #4
08. april kl. 14:24 af Capion1

Mængden I af irrationale tal er ikke tællelige. Hvis I var tællelige, var også R = QI  tællelige.


Skriv et svar til: Tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.