Matematik
Tal
Vi ved at de rationale tal Q er tællelige... De irrationale tal I er overtællelige...
Både Q og I er tætte i R.
Bevis for Q er tæt i R har jeg set... Men beviset for I er tæt er således.
Der er rationale tal r1 og r2 sådan at
a < r1 < r2 < b
Lad
t = r1 + (1/√2)·(r2 - r1)
Derved er t irrational og r1 < t < r2, så vi har a < t < b.
Altså. Det hele bunder i 2 rationale tal. Mit spørgsmål er nu...
Kan 2 irrationale tal (eller ∞ antal irrationale) derfor ligge ved siden af hinanden i R?
Umiddelbart er mit gæt ja, og det bør de - men omvendt, så betyder det, at hvis jeg vælger i1 og i2 til at være disse to irrationale tal, så vil Q ikke være tæt - og derfor er det ikke sandt...
Svar #1
07. april 2020 af oppenede
Antag at i1 og i2 er irrationelle tal ved siden af hinanden. Da er r = (i1+i2)/2 et tal i R, som opfylder i1 < R < i2. Dvs. i1 og i2 ikke ligger ved siden af hinanden i R.
Dvs. de kan kun ligge ved siden af hinanden hvis de ikke gør det, hvilket betyder de ikke eksisterer.
Svar #2
08. april 2020 af Stats
Ok... Du har vist at de ikke kan ligge ved siden af hinanden da iL = i1 + (i1 + i2)/2, så vil
i1 < iL < i2
Det viser vel blot at der er en overtællelig mængde af irrationale tal mellem de rationale tal?
Mvh Dennis Svensson
Skriv et svar til: Tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.