Matematik

Vis, at rækken konvergerer punktvis for x i de reelle tal

16. maj 2020 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg sidder og prøver at lave nogle tidligere eksamenssæt i Matematisk Analyse 2 og skal betragte rækken

$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\left(e^{-\frac{x^2}{n}}-1 \right)$

for $x \in \mathbb{R}$ . Da skal jeg vise, at S konvergerer punktvist. Jeg har prøvet at få lidt hjælp inde på Stack Exchange, hvor de siger, at man kan bruge asymptotisk ækvivalens. Selvom jeg godt forstår det, må vi nok ikke bruge det, da jeg ikke kan finde nogle steder i vores bog/bøger, hvor beviset er gennemgået. Jeg tænker selv, at man jeg skal bruge sammenligningskriteret og finde en række, der er større end S for alle $x \in \mathbb{R}$ . Jeg har dog meget svært ved at kunne gennemskue, hvordan jeg skulle finde række.

Jeg tænker, at den nok skal have formen

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$

hvor p>1, som vi ved konvergerer, jf. p-testen. Kan I hjælpe mig på rette vej?

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. maj 2020 af oppenede

Det svarer til at
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}$
konvergerer, hvor u er 0 eller negativ. Hvis u=0 er alle led 0.

Ellers giver sammenligning med $n^{-3/2}$
   $\frac{\frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}}{n^{-3/2}}=(1-e^{u/n})n=\frac{1-e^{u/n}}{1/n}$
som er 0/0-udtryk for n->∞, men hvis tæller og nævner differentieres bliver brøken til  som går mod -u ≥ 0 når n->∞. Dvs. konvergens af
   $\sum_{n=1}^\infty n^{-3/2}$
medfører konvergens af den givne række.

Svar #2
16. maj 2020 af Mathias7878

Er det her sådan generelt man skal angribe opgaver, hvor man bliver bedt om at vise at en række konvergerer punktvist? Og lige et spørgsmål: Du bruger L'Hopitals og så ser du at den afledte, går mod -u, når n går mod uendelig, men betyder det så nu, at

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}\leq \sum_{n=1}^\infty n^{-3/2}$

og hvorfor? Kan du uddybe lidt nærmere? Tak for hjælpen ellers.

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. maj 2020 af oppenede

Det betyder det ikke nødvendigvis, ved mindre du hæver indeksets startværdi fra 1 til et tilstrækkeligt højt N.

Lad u < 0 og lad a,b være reelle tal som opfylder 0 < a < -u < b.
Vi har
$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}}{n^{-3/2}}=-u$
og da grænseværdien ligger i (a, b) så
$\exists N\in\mathbb{N}\ \ \forall n>N\ \ a<\frac{\frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}}{n^{-3/2}}<b$

Lad N₀ være et sådan N. Da gælder for n > N₀
$a\cdot n^{-3/2}<\frac{1-e^{u/n}}{\sqrt{n}}<b\cdot n^{-3/2}$
Summering af højresiden fra N₀ til uendelig er konvergent, og sammenligningskriteriet medfører det samme for brøken.

Skriv et svar til: Vis, at rækken konvergerer punktvis for x i de reelle tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.