Matematik

Spørgsmål om sumtegnet

13. juni kl. 21:49 af BoHTX - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har et spørgsmål om sumtegnet ∑. I en tråd er der en opgave, hvor der indgår et sumtegn. Jeg har set det i forbindelse med bestemte integraler, men ikke med uendeligstegn fra oven og for neden f.eks.                                                                                          Σn=- n2.                                                                                       I mit eksempel, hvordan ville jeg skrive summen ud?


Brugbart svar (0)

Svar #1
13. juni kl. 22:22 af Eksperimentalfysikeren

Jeg er ikke helt sikker på, hvad du mener med at skrive summen ud. Mener du noget i retning af

\sum_{i=1}^{5}i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}


Brugbart svar (0)

Svar #2
13. juni kl. 22:41 af Eksperimentalfysikeren

Jeg vil gå ud fra, at jeg har gættet rigtigt i #1.

Det kan selvfølgelig ikke lade sig gøre at skrive hele summen ud. Det er nemmest at starte med noget, derer lidt simplere:

\sum_{n=1}^{\infty } n = 1 + 2 + 3 + ...

Problemet med din sum er, at den starter med minus uendelig og slutter med plus uendelig. Der er to måde ar skrive den på:

\\\sum_{n=-\infty}^{\infty } n^{2} = ... + (-3)^{2} + (-2)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty } n^{2} = 0^{2} + 1^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} + (-2)^{2} + 3^{2} + (-3)^{2} + ...

Bemærk, at man slutter med regnetegnet "+" og derefter tre prikker.


Svar #3
13. juni kl. 23:54 af BoHTX

#1 Ja! Med at "skrive summen ud" mener jeg det du skriver på højreside af lighedstegnet.

#2 Okay, så det er sådan man også kan skrive det, dvs. enten med et sumudtryk der starter og slutter med tre prikker eller et der blot slutter med de tre punkter. I det sidste tilfælde, kan du vel også skrive eksemplet som

Σn= -∞  n2 = ... 02 + (-1)2 + 12 + (-2)2 + 22 + (-3)2 + 32 + ...

I forlængelse til mit spørgsmål i #0, er det ALTID underforstået, at det som over og under sumtegnet kan enten være et uendelighestegn eller et heltal? Dvs. brøker eller tal som e og π vil aldrig optræde med sammen med et sumtegn, er det rigtigt?


Brugbart svar (0)

Svar #4
14. juni kl. 02:47 af Capion1

Store sigma, sumtegnet, har kun hele tal, under og over. Det er som regel kun de naturlige tal og nul.
Jeg synes ikke det er godt at placere minus uendelig som nedre grænse for sigma, men det er jo åbenbart
tilladt. e, π, √2, 2/17 ...  er ikke hele tal og kan ikke anvendes.
Man skal understrege, at hverken minus uendelig eller plus uendelig er tal. De skal kun angive, at
det der tælles, er uden grænse.


Brugbart svar (0)

Svar #5
14. juni kl. 11:40 af Eksperimentalfysikeren

#3 I tilfældet, hvor ledene er ordnet efter nummerisk størrelse, skal der ikke tre prikker foran, 0 er der første led.


Svar #6
14. juni kl. 14:04 af BoHTX

#5, Ok. Tak for rettelsen.

#4 I grundforløbet gennemgik vi begreber som definitions- og værdimængder. Hvis sumtegnet kun har med hele tal, dvs. mængden af hele tal, er det muligt at have sumtegn med udvalgte hele tal, f.eks. positive tal eller tal som har ciffret 3 i sit tal (dvs. 3,13,23 osv.)?


Brugbart svar (0)

Svar #7
14. juni kl. 14:41 af peter lind

Ja da du kan bare erstatte an med et udtryk  andet udtryk for an eksempel: Hvis du bare vil have lige tal i rækken  1/n kan du i stedet skrive 1/(2n) I dit eget eksempel 1/3, 13, 23.. kan du erstatte n med 10n+ 3 så du får 1/(10n+3)


Svar #8
14. juni kl. 15:57 af BoHTX

Det er ikke om at have lige tal i rækken, men om hvad jeg kan skrive over og under sumtegnet. I #3 står der plus og minus uendelig i sumtegnene . Kan man også have udtryk som 

                                      Σ n = 2,4,6,8 ∞ f(n)   og  Σ n = -30, -23, -13 3333 g(n) ?

Giver disse mening?


Brugbart svar (0)

Svar #9
14. juni kl. 15:59 af peter lind

nej. Det kan du ikke


Svar #10
14. juni kl. 16:14 af BoHTX

Ok, tak for hjælpen.


Brugbart svar (0)

Svar #11
14. juni kl. 18:08 af Capion1

# 6
3 + 13 + 23 + ...          \sum_{i=0}^{n-1}\left ( 10i+3 \right )  n led         Prøv selv, at reducere sigma længere ned.


Svar #12
14. juni kl. 18:21 af BoHTX

Hej                                                                                                                                                                           Jeg forstår ikke hvad du mener med at "reducere sigma". Det er "et regnestykke" med n led, så mener du at antallet af led skal reduceres?


Brugbart svar (0)

Svar #13
14. juni kl. 19:14 af Capion1

\sum_{i=0}^{n-1}\left ( 10i+3 \right )  =    \sum_{i=0}^{n-1}10i+\sum_{i=0}^{n-1}3  =  3n+10\sum_{i=0}^{n-1}i  =  10·(0 + 1 + 2 + ... + n - 1) + 3n

For parentesen kan du indsætte formlen for differensrækken.
 


Svar #14
14. juni kl. 19:49 af BoHTX

Okay, så det er hvad du kalder at "reducere sigma". Det minder om regnestykket a·(x+y) = ax + ay. Den næstsidste sum. Burde det ene led ikke være 3·(n-1) i stedet for 3n?


Brugbart svar (0)

Svar #15
14. juni kl. 20:00 af Eksperimentalfysikeren

Man kan godt skrive

\sum_{i\in M}f(i)

hvor M er en delmængde af de hele tal.


Svar #16
14. juni kl. 20:23 af BoHTX

Kan man det??? Men der er sikkert en rækkefølge af tallene i M, således at man skriver f.eks.                               ...+ f(-3) + f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... og ikke

   ... + f(2) + f (-3) + f(0) + f(-1) + f(3) + f(-2) + ...

Er det ikke rigtigt? I øvrigt, mangler du ikke noget for oven af sumtegnet?


Brugbart svar (0)

Svar #17
15. juni kl. 10:39 af chyvak

Summeringen forudsætter ikke andet end at der findes en additionsoperation i den algebraiske struktur, man vil summere i. Og hvis den er kommutativ og associativ så er summeringsrækkefølge ligegyldig og der behøves ikke parenteser. Det er heller ikke nødvendigt at følge en striks vedtagelse hvor der skal være et start- og stopindeks og at de skal være naturlige tal. Det er helt almindeligt at generalisere til summering over logiske udtryk som i #15 (summer over alle elementer i mængden M, rækkefølge underordnet). Andre eksempler på logiske summeringsbetingelser er: i,j (summer over alle indices i og j), d|n (summer over alle divisorer i n), 0<=n <=10 (summer over alle naturlige tal fra 0 til 10 begge inklusive). 


Svar #18
16. juni kl. 14:15 af BoHTX

Jeg er usikker på det du skriver, chyvak. Men mener du at hvis summeringen er kommutative [ dvs. a+b=b+a ] og associativ [ dvs. a+(b+c) = (a+b)+c ] og vil rækkefølgen af led der skrives ud være ligegyldig?Jeg kan altså vælge et hvilken som helst tal i M og skrive f.eks.

i∈?M f(i) = ...+ f(- 39) + f (26) + f(0) + f(12001) + f(-5) + f(72) + ...  ?


Brugbart svar (0)

Svar #19
16. juni kl. 14:32 af chyvak

Ja. Addition er en kommutativ, associativ, binær operation. At den er binær betyder at den tager 2 argumenter. At den er kommutativ betyder at de to argumenters rækkefølge er ligegyldig. At den er associativ betyder, at når der er mere end to argumenter, altså 2 eller flere additioner, så er rækkefølgen disse additioner udføres i ligegyldig. Samlet set får man nøjagtigt det, du har skrevet. Og bemærk at vi her forudsætter, at talen går på endelige summer. Egenskaberne ved addition gælder altid, men for uendelige summer kan man ikke bare uden videre flytte rundt på elementerne uden at det gør noget ved summen.


Svar #20
16. juni kl. 18:59 af BoHTX

for uendelige summer kan man ikke bare uden videre flytte rundt på elementerne uden at det gør noget ved summen

Hvorfor ikke det? Det gør Eksperimentalfysikeren i #2, med eksemplet Σn= -∞ ∞ n2, hvor den skrives på to måder.


Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.