Spørgsmål om sumtegnet

Jeg er ikke helt sikker på, hvad du mener med at skrive summen ud. Mener du noget i retning af

Jeg vil gå ud fra, at jeg har gættet rigtigt i #1.

Det kan selvfølgelig ikke lade sig gøre at skrive hele summen ud. Det er nemmest at starte med noget, derer lidt simplere:

Problemet med din sum er, at den starter med minus uendelig og slutter med plus uendelig. Der er to måde ar skrive den på:

Bemærk, at man slutter med regnetegnet "+" og derefter tre prikker.

#1 Ja! Med at "skrive summen ud" mener jeg det du skriver på højreside af lighedstegnet.

#2 Okay, så det er sådan man også kan skrive det, dvs. enten med et sumudtryk der starter og slutter med tre prikker eller et der blot slutter med de tre punkter. I det sidste tilfælde, kan du vel også skrive eksemplet som

Σ_{n= -∞} ^∞ n² = ... 0² + (-1)² + 1² + (-2)² + 2² + (-3)² + 3² + ...

I forlængelse til mit spørgsmål i #0, er det ALTID underforstået, at det som over og under sumtegnet kan enten være et uendelighestegn eller et heltal? Dvs. brøker eller tal som e og π vil aldrig optræde med sammen med et sumtegn, er det rigtigt?

Store sigma, sumtegnet, har kun hele tal, under og over. Det er som regel kun de naturlige tal og nul.
Jeg synes ikke det er godt at placere minus uendelig som nedre grænse for sigma, men det er jo åbenbart
tilladt. e, π, √2, ²/_{17 ...}  er ikke hele tal og kan ikke anvendes.
Man skal understrege, at hverken minus uendelig eller plus uendelig er tal. De skal kun angive, at
det der tælles, er uden grænse.

#3 I tilfældet, hvor ledene er ordnet efter nummerisk størrelse, skal der ikke tre prikker foran, 0 er der første led.

#5, Ok. Tak for rettelsen.

#4 I grundforløbet gennemgik vi begreber som definitions- og værdimængder. Hvis sumtegnet kun har med hele tal, dvs. mængden af hele tal, er det muligt at have sumtegn med udvalgte hele tal, f.eks. positive tal eller tal som har ciffret 3 i sit tal (dvs. 3,13,23 osv.)?

Ja da du kan bare erstatte a_n med et udtryk  andet udtryk for a_n eksempel: Hvis du bare vil have lige tal i rækken  1/n kan du i stedet skrive 1/(2n) I dit eget eksempel 1/3, 13, 23.. kan du erstatte n med 10n+ 3 så du får 1/(10n+3)

Det er ikke om at have lige tal i rækken, men om hvad jeg kan skrive over og under sumtegnet. I #3 står der plus og minus uendelig i sumtegnene . Kan man også have udtryk som 

                                      Σ n = 2,4,6,8 ^∞ f(n)   og  Σ _{n = -30, -23, -13} ³³³³ g(n) ?

Giver disse mening?

nej. Det kan du ikke

Ok, tak for hjælpen.

# 6
3 + 13 + 23 + ...            n led         Prøv selv, at reducere sigma længere ned.

Hej                                                                                                                                                                           Jeg forstår ikke hvad du mener med at "reducere sigma". Det er "et regnestykke" med n led, så mener du at antallet af led skal reduceres?

  =      =    =  10·(0 + 1 + 2 + ... + n - 1) + 3n

For parentesen kan du indsætte formlen for differensrækken.
 

Okay, så det er hvad du kalder at "reducere sigma". Det minder om regnestykket a·(x+y) = ax + ay. Den næstsidste sum. Burde det ene led ikke være 3·(n-1) i stedet for 3n?

Man kan godt skrive

hvor M er en delmængde af de hele tal.

Kan man det??? Men der er sikkert en rækkefølge af tallene i M, således at man skriver f.eks.                               ...+ f(-3) + f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... og ikke

   ... + f(2) + f (-3) + f(0) + f(-1) + f(3) + f(-2) + ...

Er det ikke rigtigt? I øvrigt, mangler du ikke noget for oven af sumtegnet?

Summeringen forudsætter ikke andet end at der findes en additionsoperation i den algebraiske struktur, man vil summere i. Og hvis den er kommutativ og associativ så er summeringsrækkefølge ligegyldig og der behøves ikke parenteser. Det er heller ikke nødvendigt at følge en striks vedtagelse hvor der skal være et start- og stopindeks og at de skal være naturlige tal. Det er helt almindeligt at generalisere til summering over logiske udtryk som i #15 (summer over alle elementer i mængden M, rækkefølge underordnet). Andre eksempler på logiske summeringsbetingelser er: i,j (summer over alle indices i og j), d|n (summer over alle divisorer i n), 0<=n <=10 (summer over alle naturlige tal fra 0 til 10 begge inklusive). 

Jeg er usikker på det du skriver, chyvak. Men mener du at hvis summeringen er kommutative [ dvs. a+b=b+a ] og associativ [ dvs. a+(b+c) = (a+b)+c ] og vil rækkefølgen af led der skrives ud være ligegyldig?Jeg kan altså vælge et hvilken som helst tal i M og skrive f.eks.

∑_i∈?M f(i) = ...+ f(- 39) + f (26) + f(0) + f(12001) + f(-5) + f(72) + ...  ?

Ja. Addition er en kommutativ, associativ, binær operation. At den er binær betyder at den tager 2 argumenter. At den er kommutativ betyder at de to argumenters rækkefølge er ligegyldig. At den er associativ betyder, at når der er mere end to argumenter, altså 2 eller flere additioner, så er rækkefølgen disse additioner udføres i ligegyldig. Samlet set får man nøjagtigt det, du har skrevet. Og bemærk at vi her forudsætter, at talen går på endelige summer. Egenskaberne ved addition gælder altid, men for uendelige summer kan man ikke bare uden videre flytte rundt på elementerne uden at det gør noget ved summen.

for uendelige summer kan man ikke bare uden videre flytte rundt på elementerne uden at det gør noget ved summen

Hvorfor ikke det? Det gør Eksperimentalfysikeren i #2, med eksemplet Σ_{n= -∞} ^∞ n², hvor den skrives på to måder.