Matematik

Første ordens differentialligninger

17. august 2020 af ty16 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Hvordan beregner jeg følgende opgave..
Givet differentialligning y'(t) - (2y(t)/t) = t•cos(ln(t))

Beregn den fuldstændige løsning til differentialligning og beregn derefter en løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen y(1) = -3
Jeg er helt lost ift. hvordan jeg skal give mit gæt. 

Har beregnet yh(t) = C•e-(2/t) og ud fra den komplekse gættemetode har jeg fået mit gæt til 

Zp(t) = k•eln(t)•i ?? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. august 2020 af mathon

\small \small \begin{array}{lllll} \textup{Differentialligning:}&y{\,}'-\frac{2}{t}\cdot y=t\cdot \cos(\ln(t))\\ \\\textup{Panserformlen}\\ \textup{giver:}&y=t^2\cdot \int t^{-2}\cdot t\cdot \cos(\ln(t))\,\mathrm{d}t\\\\& y=t^2\cdot \int\frac{1}{t}\cdot \cos(\ln(t))\,\mathrm{d}t\\\\ \textup{her s\ae ttes:}&u=\ln(t)\textup{ og dermed }\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\,\mathrm{d}u\\\\& y=t^2\cdot \int\frac{1}{t}\cdot \cos(\ln(t))\,\mathrm{d}t=t^2\cdot \int \cos(u)\,\mathrm{d}u=t^2\cdot \left ( \sin(u)+k \right )\\\\&y(t)=t^2\cdot \left ( \sin(\ln(t)) +k\right )\\\\&y(1)=-3=1^2\cdot \left ( \sin(\ln(1))+k \right )\\\\& -3=\sin(0)+k\\\\& k=-3\\\\ \textup{L\o sning:}&y(t)=t^2\cdot \sin(\ln(t))-3t^2 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #2
17. august 2020 af mathon

\small \begin{array}{llll} \textup{kontrol af l\o sning:}\\& \begin{array}{cc|cc} \left (t^2\cdot \sin(\ln(t)) -3t^2 \right ){}'&&&\frac{2}{t}\cdot y\\ &&\\ 2t\cdot \sin(\ln(t))+t^2\cdot \cos(\ln(t))\cdot \frac{1}{t}-6t&&&\frac{2}{t}\cdot \left ( t^2\cdot \sin(\ln(t)) -3t^2 \right )\\ &&&\\ 2t\cdot \sin(\ln(t))+t\cdot \cos(\ln(t))-6t&&&2t\cdot \sin(\ln(t))-6t \end{array}\\\\& \begin{array}{cccc} 2t\cdot \sin(\ln(t))+t\cdot \cos(\ln(t))\! \! -6t&-&2t\cdot \sin(\ln(t))+6t\\\\& t\cdot \cos(\ln(t)) \end{array} \end{array}


Skriv et svar til: Første ordens differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.