Matematik

Bestem monotoniforholdene for f'(x)=(x+2)^2 (x-3)x

14. september kl. 11:14 af petbau - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg skal bestemme monotoniforholdene for f'(x)=(x+2)^{2}\cdot (x-3)\cdot x

Dm(f) = R

For at finde fortegnsvariationen sætter jeg f'(x) = 0

f'(x)=(x+2)^{2}\cdot (x-3)\cdot x = 0

Så får jeg: x=-2, x=0 og x = 3. Da f' er defineret for alle x \epsilon R, kan den kun skifte fortegn der, hvor f'(x)=0

Fortegn findes ved at bestemme f '(x) for en tilfældige værdier; her vælges: -3, -1, 1, og 4

Ved x=-3,  fås f '(-3) = -18

Ved x=-2 , fås f '(-2) = 0

Ved x= -1 , fås f '(-1) = -12

Ved x=0 fås f '(0) = 0

Ved x=1  ,  fås f '(1) = -54

Ved x= 4 ,fås f '(4) = 108

 f er aftagende i ]-\infty ;-2 [

f er aftagende i ]-2;0[

f er aftagende i ]0;3[

f er voksende i ]3;\infty[

Symbolab giver monotoniforholdene:

aftagende -\infty < x< -2

stigende -2 < x< -0,75

aftagende -0,75 < x< 2

stigende 2< x< \infty

Hvad gør jeg galt?


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. september kl. 11:26 af mathon

monotoniforholdene for \small f{\,}'(x) bestemmes af fortegnsvariationen for \small f{\,}''(x).

               \small \begin{array}{lll} f{\, }''(x)=4\cdot (x-2)(x+2)\left ( x+\frac{3}{4} \right ) \end{array}


Svar #2
14. september kl. 11:29 af petbau

Ups. vil det sige at jeg skal diffentiere f '(x) og så sætte f''(x) = 0 ?


Brugbart svar (0)

Svar #3
14. september kl. 11:33 af mathon

   Ja.


Svar #4
14. september kl. 11:34 af petbau

Tak, det prøver jeg 


Brugbart svar (0)

Svar #5
14. september kl. 17:04 af AMelev

#0 Du har fundet nulpunkter og fortegn for f ' og dermed monotoniforhold for f.
Du er så vandt til at den oprindelige funktion, som man skal undersøge, hedder f, så du har ladet dig snyde af, at den nu hedder f '.

Du kan evt. kalde den g i stedet for f ', så er du måske mere på hjemmebane.


Svar #6
15. september kl. 14:54 af petbau

Tak AMelev og mathon

Jeg differentierer f ' (x) = (x+2)^{2}(x-3)x

Det første led, som er i anden potens, ser jeg som en sammensat funktion:

Når jeg differentierer (x+2)2 får jeg : 2(x+2)

Det andet led, (x-3)x differentiererer jeg vha. reglen (f\cdot g)'(x), og får: 2x-3

f''(x)=2(x+2)\cdot (x-3)x+(x+2)^{2}\cdot (2x-3)

Jeg har dernæst brugt en halv A4 side og time på at reducere udtrykket til:

f''(x)=6x^{3}+20x^{2}+28x+24

Er det rigtigt??

Mit næste problem er, at jeg ikke forstår, hvad det betyder at differentiere en allerede differentieret funktion??? Hvad vil det sige at finde den differentierede funktions væksthastighed?

Hvad bruger man det til i den virkelige verden?

På forhånd, tak for jeres hjælp. Det er virkelig påskønnet.

Venlig hilsen

Peter


Brugbart svar (1)

Svar #7
15. september kl. 16:16 af AMelev

Jeg starter bagfra:

Hvis f(x) fx angiver kørt strækning til tiden x, så angiver f '(x) farten til tiden x og f ''(x) angiver accellerationen til tiden x.

Du kan differentiere en hvilken som helst differentiabel funktion
Hvis f er differentiabel, kan du bestemme dens afledede f ' ved at diffferentiere f
Hvis f ' er differentiabel, kan du bestemme dens afledede f '' ved at diffferentiere f '
Hvis f '' er differentiabel, kan du bestemme dens afledede f ''' ved at diffferentiere f '' osv.
Eksempel. f(x)=2x^4+x^2+5\Rightarrow f'(x)=8x^3+2x\Rightarrow f''(x)=24x^2+2\Rightarrow
f'''(x)=48x\Rightarrow f^{(4)}(x)=48\Rightarrow f^{(5)}(x)=0\Rightarrow f^{(n)}(x)=0, for n > 5
Notationen f(n) betyder f differentieret n gange, når n overstiger 3-4 stykker, da det ellers bliver svært at holde styr på antal '.


Svar #8
15. september kl. 16:30 af petbau

Tak, for forklaringen, jeg kan godt forstå din forklaring, men ville aldrig have kunnet ræsonere mig til det.


Brugbart svar (1)

Svar #9
15. september kl. 16:54 af AMelev

#6

Jeg differentierer f ' (x) = (x+2)^{2}(x-3)x

Det første led, som er i anden potens, ser jeg som en sammensat funktion:

Når jeg differentierer (x+2)2 får jeg : 2(x+2) 

Det andet led, (x-3)x differentiererer jeg vha. reglen (f\cdot g)'(x), og får: 2x-3

f''(x)=2(x+2)\cdot (x-3)x+(x+2)^{2}\cdot (2x-3) Korrekt

Jeg har dernæst brugt en halv A4 side og time på at reducere udtrykket til:

f''(x)=6x^{3}+20x^{2}+28x+24 Ikke rigtigt

Er det rigtigt??

Der er ikke tale om led (de forbindes med + eller -) med om faktorer.
Det havde nok været lettere at gange de to sidste faktorer sammen før differentiation.f ' (x) = (x+2)^{2}(x-3)x=(x+2)^{2}(x^2-3x), men dit resultat så langt er korrekt.
Det er reduktionen ikke.

f''(x)=2\cdot {\color{Blue} (x+2)}\cdot (x^2-3x)+{\color{Blue} (x+2)}^{2}\cdot (2x-3)
Her er det lettest at sætte (x + 2) uden for parentes, da det optræder som faktor i begge led:
f''(x)={\color{Blue} (x+2)}\cdot ( \2\cdot (x^2-3x)+(x+2)\cdot (2x-3))=
{\color{Blue} (x+2)}\cdot (2x^2-6x+2x^2+x-6)={\color{Blue} (x+2)}\cdot ( 4x^2-5x-6), så er det også lettere at bestemme nulpunkter.


Brugbart svar (1)

Svar #10
15. september kl. 20:16 af mathon

               \small \small \begin{array}{lllll}& f{\,}''(x)=4\cdot (x-2)(x+2)\left (x+\frac{3}{4} \right )\\ \textup{nulpunkter:}\\&f{\,}''(x)=4\cdot (x-2)(x+2)\left (x+\frac{3}{4} \right )=0\\\\&x=\left\{\begin{array}{r}-2\\-\frac{3}{4}\\2 \end{array}\right.\\\\ \textup{fortegnsvariation}\\\textup{for }f{\,}''(x)\textup{:}&\begin{array}{llllll} f{\,}''(x)<0&\textup{for }& x<-2&\Leftrightarrow f{\, }'(x)\textup{ er aftagende} \\ f{\,}''(x)>0&\textup{for}&-2<x<-\frac{3}{4}&\Leftrightarrow f{\, }'(x)\textup{ er voksende}\\f{\,}''(x)<0&\textup{for }&-\frac{3}{4}<x<2&\Leftrightarrow f{\, }'(x)\textup{ er aftagende}\\f{\,}''(x)>0&\textup{for}&x>2&\Leftrightarrow f{\, }'(x)\textup{ er voksende} \end{array} \end{array}


Skriv et svar til: Bestem monotoniforholdene for f'(x)=(x+2)^2 (x-3)x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.