Matematik

Kontinuitet og differentiabilitet for funktioner af flere variable

01. oktober 2020 af nana22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

har det lidt svært med at bestemme funktionen H

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-10-01 kl. 13.00.08.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2020 af compostable (Slettet)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lad $x_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , da har du at

$\begin{align*} H(x_0) &= \lim_{y\rightarrow0}h(x_0,y) \\ &= \lim_{y\rightarrow0}\frac{\cos(x_0) - \cos(y)}{5(x_0^2 + y^2)} \\ &= \frac{\cos(x_0) - 1}{5x_0^2} \end{align*}$

Desuden har du at

$\begin{align*} H(0) &= \lim_{y\rightarrow0}h(0,y) \\ &= \lim_{y\rightarrow0}\frac{1 - \cos(y)}{5y^2} \\ &= -\frac{1}{5}\lim_{y\rightarrow0}\frac{\cos(y)}{y^2} \\ &=\frac{1}{10}\lim_{y\rightarrow0}\frac{\sin(y)}{y} \\ &= \frac{1}{10} \end{align*}$

Bemærk nu at

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}H(x) &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)-1}{5x^2} \\ &= \frac{1}{5}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{x^2} \\ &= -\frac{1}{10}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x} \\ &= -\frac{1}{10} \end{align*}$

Hvorfor at

$\begin{align*} H(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{5x^2} & x\neq0 \\ \frac{1}{10} & x=0\end{cases} \end{align*}$

ikke er kontinueret i $x=0$ og dermed kan vi ikke vælge et $c$ således at $h(x,y)$ bliver kontinueret i $(x,y) = (0,0)$ .

Svar #2
01. oktober 2020 af nana22 (Slettet)

perfekt mange tak, har lige et andet spørgsmål jeg sidder med, det er c) med grænseværdien

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2020-10-01 kl. 16.55.05.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. oktober 2020 af Anders521

#2 Mht. mellemregningerne i #1, se vedhæftet billede. Blot et velment råd. Med funktionen f(x,y) = √ [ 5xy-3y² ], haves f(rh,h) =√ [ 5(rh)h-3h² ] = √ [ h²· (5r-3) ] =√h² ·√ [ 5r-3 ] = |h|·√ [ 5r-3 ] Nu er det nok nemmere at undersøge lim_h→0+f(rh,h)/h

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. oktober 2020 af Anders521

Ups! Glemte billedet.

Vedhæftet fil:Noter til Matematisk Analyse_TGM_1994-1995.png

Svar #5
01. oktober 2020 af nana22 (Slettet)

Men nu hvor h går mod 0 så bliver svaret kvadratrode af 5r-3^2?

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. oktober 2020 af Anders521

#5 Du mener når nu hvor h går 0 fra højresiden af tallet, men ja. Det skal du dog også lige vise eller argumentere.

Skriv et svar til: Kontinuitet og differentiabilitet for funktioner af flere variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.