Matematik

Kontinuitet og differentiabilitet for funktioner af flere variable

01. oktober kl. 13:05 af nana22 - Niveau: Universitet/Videregående

har det lidt svært med at bestemme funktionen H


Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober kl. 14:11 af compostable (Slettet)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lad x_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, da har du at

                                                     \begin{align*} H(x_0) &= \lim_{y\rightarrow0}h(x_0,y) \\ &= \lim_{y\rightarrow0}\frac{\cos(x_0) - \cos(y)}{5(x_0^2 + y^2)} \\ &= \frac{\cos(x_0) - 1}{5x_0^2} \end{align*}

Desuden har du at

                                                         \begin{align*} H(0) &= \lim_{y\rightarrow0}h(0,y) \\ &= \lim_{y\rightarrow0}\frac{1 - \cos(y)}{5y^2} \\ &= -\frac{1}{5}\lim_{y\rightarrow0}\frac{\cos(y)}{y^2} \\ &=\frac{1}{10}\lim_{y\rightarrow0}\frac{\sin(y)}{y} \\ &= \frac{1}{10} \end{align*}

Bemærk nu at

                                                   \begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}H(x) &= \lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)-1}{5x^2} \\ &= \frac{1}{5}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x}{x^2} \\ &= -\frac{1}{10}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x} \\ &= -\frac{1}{10} \end{align*}

Hvorfor at

                                                      \begin{align*} H(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{5x^2} & x\neq0 \\ \frac{1}{10} & x=0\end{cases} \end{align*}

ikke er kontinueret i x=0 og dermed kan vi ikke vælge et c således at h(x,y) bliver kontinueret i (x,y) = (0,0).


Svar #2
01. oktober kl. 16:55 af nana22

perfekt mange tak, har lige et andet spørgsmål jeg sidder med, det er c) med grænseværdien


Brugbart svar (1)

Svar #3
01. oktober kl. 19:52 af Anders521

#2 Mht. mellemregningerne i #1, se vedhæftet billede. Blot et velment råd. Med funktionen                                                                                                          f(x,y) = √ [ 5xy-3y2 ],                                                                       haves                                                                                                                                                                                            f(rh,h) =√ [ 5(rh)h-3h2 ] = √ [ h2· (5r-3) ] =√h2 ·√ 5r-3 ] = |h|·√ 5r-3 ]                                          Nu er det nok nemmere at undersøge                                                                                                                                                                                         limh→0+  f(rh,h)/h


Brugbart svar (1)

Svar #4
01. oktober kl. 19:54 af Anders521

Ups! Glemte billedet.


Svar #5
01. oktober kl. 20:55 af nana22

Men nu hvor h går mod 0 så bliver svaret kvadratrode af 5r-3^2?


Brugbart svar (0)

Svar #6
01. oktober kl. 21:02 af Anders521

#5 Du mener når nu hvor h går 0 fra højresiden af tallet, men ja. Det skal du dog også lige vise eller argumentere.


Skriv et svar til: Kontinuitet og differentiabilitet for funktioner af flere variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.