Matematik

Når noget er differentiabelt i noget

24. oktober kl. 01:00 af Alrighty - Niveau: B-niveau

Som jeg har forstået, så er noget differentiabelt i noget, grænseværdien af sekanten som er = tangenten. Men hvordan kan der ikke altid være en grænseværdi så? Er det fordi, at når grafen ikke er glat, så fungerer det ikke?


Brugbart svar (0)

Svar #1
24. oktober kl. 03:13 af Anders521

#0 ... Nej, grænseværdien af sekanten er ≠ tangenten, men tangentens hældningskoefficient/ stigningtal. Følgende definitionen på differentiabilitet (det er en funktionsegenskab) er taget (og oversat) fra Tom Lindstrøms bog Kalkulus:

Antag, at f er defineret i en omegn af punktet a dvs. at der findes et interval ]a-c,a+c [,så f(x) defineret for alle x i dette interval ). Hvis grænseværdien                                                                                                                                                                                                                                   limx→a [ f(x) - f(a) ] / ( x -a )                                                                                 eksisterer, siger vi at f er differentiabelt i a. Vi skriver                                                                                                                                                                                                 f '(a) = limx→a [ f(x) - f(a) ] / ( x -a )                                                              og kalder denne størrelse for den afledede til f i punktet a.

De funktioner du lærte på C-niveau, (f.eks. xn, ex, loga(x) osv. ...) vil opfylde ovenstående definition, men der findes ligeledes funktioner, som ikke gør. Et velkendt eksempel er f(x) = |x| som er den numerisk værdi-funktion. Tegnes grafen for |x| ses et "knæk" ved punktet 0. Bruges definitionen vil tallet 0 svarer til a, og uanset hvor lille et tal c > 0 der vælges, vil der ikke findes et omegn ]0-c;0 +c[, således at grænsenværdien f '(0) findes. 

At en graf "ikke er glat", er desværre ikke tiltrækkelig tegn på, om den tilhørende funktion er differentiabelt eller ej. F.eks. er funktionen                                                                                                                                                                                          h(x) = [ x2, hvis x ∈ Q, 0 hvis  x∈ I ],                                                            hvor Q og I betegner hhv. de rationelle og ikke-rationelle tal. Funktionens graf ser ud til at være glat, hvis du tegner den, men det er den ikke. Den er dog differentiabel ved punktet 0.


Skriv et svar til: Når noget er differentiabelt i noget

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.