Når noget er differentiabelt i noget

#0 ... Nej, grænseværdien af sekanten er ≠ tangenten, men tangentens hældningskoefficient/ stigningtal. Følgende definitionen på differentiabilitet (det er en funktionsegenskab) er taget (og oversat) fra Tom Lindstrøms bog Kalkulus:

_{Antag, at f er defineret i en omegn af punktet a ( dvs. at der findes et interval ]a-c,a+c [,så f(x) defineret for alle x i dette interval ). Hvis grænseværdien}                                                                                                                                                                                                                                   lim_x→a [ f(x) - f(a) ] / ( x -a )                                                                                 _{eksisterer, siger vi at f er differentiabelt i a. Vi skriver}                                                                                                                                                                                                 f '(a) = lim_x→a [ f(x) - f(a) ] / ( x -a )                                                              _{og kalder denne størrelse for den afledede til f i punktet a.}

De funktioner du lærte på C-niveau, (f.eks. xⁿ, e^x, log_a(x) osv. ...) vil opfylde ovenstående definition, men der findes ligeledes funktioner, som ikke gør. Et velkendt eksempel er f(x) = |x| som er den numerisk værdi-funktion. Tegnes grafen for |x| ses et "knæk" ved punktet 0. Bruges definitionen vil tallet 0 svarer til a, og uanset hvor lille et tal c > 0 der vælges, vil der ikke findes et omegn ]0-c;0 +c[, således at grænsenværdien f '(0) findes. 

At en graf "ikke er glat", er desværre ikke tiltrækkelig tegn på, om den tilhørende funktion er differentiabelt eller ej. F.eks. er funktionen                                                                                                                                                                                          h(x) = [ x², hvis x ∈ Q, 0 hvis  x∈ I ],                                                            hvor Q og I betegner hhv. de rationelle og ikke-rationelle tal. Funktionens graf ser ud til at være glat, hvis du tegner den, men det er den ikke. Den er dog differentiabel ved punktet 0.