Tangentens ligning

#0 Hvad får du som ligningen for tangenten? Gerne vis dine forsøg på at løse opgaven.

Jeg tror jeg ikke helt forstår hvordan :   f(x0) = 2    og f(x0) = 2

når jeg prøver at regne forskriften ud   :   x^2 + 2x + 2

Er den tangents ligning   : y = 2x + 2

#3

Jeg tror jeg ikke helt forstår hvordan :   f(x0) = 2    og f(x0) = 2

Jeg gætter på, at du ikke ved hvad størrelse x₀ er i formlen. Størrelsen angiver et tal, hvilket er givet i din opgave.

når jeg prøver at regne forskriften ud   :   x^2 + 2x + 2

For at nå frem til ligningen, skal du bruge forskriften for f, som du har stillet op, korrekt.

Er den tangents ligning   : y = 2x + 2

Det kan du faktisk bekræfte grafisk (og analytisk) ved at tegne tangenten og parablen for f.

tak. Ja jeg forstår godt hvis man grafisk tegne parablen op andengradspolynomien :   x^2 + 2x +2 og tangentens ligning så kan man se om den rører tangenten?

Men problemet for mig var at finde frem   -    f(x0)  = 2 

                                                                       f'(x0)=  2

Nu spørger jeg nok et et mærkeligt spørgsmål, men hvordan ved man at det ikke er x^2  som er f'(x0) .....

#5 Størrelsen x₀ er jo tallet 0 i din opgave. Derfor fås f (x₀) = 2 og f '(x₀) = 2.

Nu spørger jeg nok et et mærkeligt spørgsmål, men hvordan ved man at det ikke er x^2  som er f'(x0)

Ja, det er et mærkeligt spørgsmål, Svaret er, hvis man beregner (væksthastigheden) f '(x₀) ud, vil resultatet være et ... TAL. Og da x² er ikke et tal, men et blot et led i forskriften for f, altså ved man  x² ikke er f '(x₀).

Ja det kan jeg godt se. 

Hvis man så skal differentiere : f(x0) og f'(x0) i regneforskriften

Så ved jeg ikke om det så er korrekt at sige :    2x+ 2x + 2  for både (fx0) og (f'x0).... 

#7 Godt, jeg kan se du har store problemer med opgaven, så lad mig gennemgå den for dig.

    Bestem ligningen for en tangent i punktet P(0, f(0)) givet andengradspolynomiet f(x) = x² +2x +2. 

Hvad er det vi bliver bedt om at bestemme? Det er en ligning for en tangent. Vi hiver formelsamlingen frem for at finde den generelle formel for ligningen for en tangent. Det er formel nr. (98). Der står der

                                                                     y = f '(x₀)·(x -x₀) + f(x₀).

Her ser vi vores variable y og x og nogle størrelser f '(x₀) og f(x₀). Hvad er x₀ for noget??? Ser vi på samme side som den nævnte formel står i, er der et billede (se ellers vedhæftede billede, figur 1). Deri står der bl.a. P(x₀, f(x₀)). Sådan noget skrivelse står der også i vores opgaven, nemlig P(0, f(0)). Okay, så x₀ er altså 1. koordinaten til punktet P, og er tallet 0 i opgaven, dvs. x₀ = 0. Men hvad med f(0), hvad er det så? Det må så være 2. koordinaten til punktet P, og er et tal. Men f(0) ligner ikke et tal, og er ikke givet i opgaven. I stedet har vi polynomiet f(x) = x² +2x +2. Måske kan vi beregne f(0) for at få et tal. Vi prøver. Vi sætter 0 ind i x's plads i forskriften for f, dvs. 

                                                                        f(0) = 0² + 2·0 + 2 = 2

 Så f(0) er tallet 2. Dvs. punktet P(0, f(0)) i opgaven kan nu skrives som P(0,2). Godt, hvad mangler vi...? Selvfølgelig størrelsen f '(x₀), men da vi ved at x₀ = 0 skriver vi bare f '(0). For at kunne finde f '(0) skal vi først differentiere funktionen f - vi skal altså bestemme differentialkvotienten f '(x). Vi bruge formel nr. (99), (100), (105) og (110). 

                                                                  f '(x) = ( x² + 2x¹ + 2 )'                                                                                                                                                    = ( x² )' + ( 2x¹ )' + ( 2 )'                                                                                                                                        = 2·x^2-1 + 2·x^1-1 + 0                                                                                                                                              = 2x¹ + 2x⁰ + 0                                                                                                                                                      = 2x + 2.

Så f '(x) = 2x + 2. Altså er f '(0) = 2·0 + 2 = 2. Nu har vi alt det, vi skal bruge for at bestemme ligningen for vores tangent:

                                                                  y = f '(0)·( x - 0) + f(0)                                                                                                                                               = 2·( x- 0 ) + 2                                                                                                                                                        = 2x + 2

hvilket er den søgte ligning, dvs. y = 2x + 2. 

Men hvordan vi ved den er korrekt? I formelsamlingen var der det billede, hvor den tangent berørte grafen for f i punktet P(x₀, f(x₀)). Hvis vi tegnede vores tangent og vores graf for f, skulle vi gerne have den sammen situation. Kigger vi i den vedhæftede fil, i figur 2, ser vi lige netop den.

Altså er y = 2x + 2 ligningen for tangenten til grafen for f i punktet P(0, f(0)).

#7 Her er det vedhæftet billede.

Mange tak! Altså jeg forstår godt opgaven nu. Men ja jeg har svært ved at finde frem til hvad 1 og 2 koordinat er og bruge formlerne . Selvom jeg forstår dine udregninger som er rigtig godt forklaret. Så forstår jeg f.eks. ikke hvordan formel 105 indgår. Men jeg håber på at jeg forstår hvordan man laver lign. opgaver ved at blive ved med at øve mig , og tak igen for hjælpen