Matematik

Bestem den løsning til differentialligningen, der går gennem punktet P(0,120)

04. februar 2021 af Nbl2410 - Niveau: A-niveau

Uden hjælpemidler

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-02-04 kl. 12.37.23.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. februar 2021 af janhaa

int dy/(0.1y+40)= int dx

10*ln(y+400) = x + c

etc...

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. februar 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} y{\, }'+(-0.1)\cdot y=40&\textup{giver med "panserformlen"}\\\\ y(x)=e^{0.1x}\cdot \int 40\cdot e^{-0.1x}\mathrm{d}x\\\\ y(x)=e^{0.1x}\cdot \left ( \frac{40}{-0.1} \cdot e^{-0.1x}+C\right )\\\\ y(x)=e^{0.1x}\cdot \left ( C-400e^{-0.1x} \right )\\\\\\ y(x)=Ce^{0.1x}-400\\& 120=C\cdot e^{0.1\cdot 0}-400\\\\& 120=C-400\\\\& C=520\\ y(x)=520e^{0.1x}-400 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. februar 2021 af Soeffi

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. februar 2021 af Soeffi

#2. Man kan godt separere de variable (som antydet i #1), hvis man laver en substitution:
$u=0,1\cdot y+40,\;\frac{du}{dx}=0,1\cdot \frac{dy}{dx},\;y\neq -400$

For y ≠ -400 har man med substitutionen:

$\frac{dy}{dx}=0,1\cdot y+40\Leftrightarrow$ $10\cdot \frac{du}{dx}=u\Leftrightarrow$ $\frac{1}{u}\cdot du=\frac{1}{10} \cdot dx\Leftrightarrow$ $ln|u|=\frac{x}{10}+k_1\Leftrightarrow$

$|u|= exp\left ( \tfrac{x}{10}+k_1\right )\Leftrightarrow$ $y=k\cdot exp\left ( \tfrac{x}{10}\right )-400,\;k\in \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Det ses, at y = -400 er en løsning. Samlet får man løsningen:

$y=k\cdot exp\left ( \tfrac{x}{10}\right )-400,\;k\in \mathbb{R}$

Den løsning, som går gennem P(0,120), opfylder følgende ligning, der løses med hensyn til k:

$120=k\cdot exp\left ( \tfrac{0}{10}\right )-400\Leftrightarrow 120=k-400\Leftrightarrow k=520$

Dvs. løsnigen er:

$y=520\cdot exp\left ( \tfrac{x}{10}\right )-400$

Skriv et svar til: Bestem den løsning til differentialligningen, der går gennem punktet P(0,120)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.