Matematik

Bestem popcornbægrets dimensioner......

18. februar 2021 af c1c12n2b3 - Niveau: B-niveau

Hallooo jeg har virkelig brug for hjælp, jeg sad med den her opgave i en uge nu. ??

Opgaven lyder:

Figuren viser en kegle med radius r og højde h.
Det oplyses, at rumfang V og overflade A er givet ved formlerne:

V = 1/3 * π * r^2 * h

A = π * r * √(r^2+ h^2 )

Et popcornbæger har form som en kegle med rumfang 500 cm^3.
Bestem popcornbægrets dimensioner, således at overfladen bliver mindst mulig.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. februar 2021 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1892461.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. februar 2021 af peter lind

Lhøs din første formel med hensyn til h og sæt resultatet ind i din anden formel. Du har nu arealet som e funktion af r alene. Du kan nu fide optimum på sædvanlig måde

Svar #3
18. februar 2021 af c1c12n2b3

#1 Jeg har kigget på den tidligere, men det er ikke det samme, og den har kun gjort det mere forvirret.

Brugbart svar (1)

Svar #4
19. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Rumfang:}\\& \frac{\pi}{3}\cdot h\cdot r^2=500\\ \textup{H\o jde:}\\& h=\frac{1500}{\pi\cdot r^2}\\\\& h^2=\frac{1500^2}{\pi^2\cdot r^4}\\\\\\ \textup{Overflade:}\\& O=\pi\cdot r\cdot \sqrt{r^2+h^2}\\\\& O(r)=\pi\cdot r\cdot \sqrt{r^2+\frac{1500^2}{\pi^2\cdot r^4}} =\pi\cdot \sqrt{r^4+\frac{1500^2}{\pi^2\cdot r^2}}\\\\\\& O{\, }'(r)=\pi\cdot \frac{1}{2\sqrt{r^4+\frac{1500^2}{\pi^2\cdot r^2}}}\cdot \left ( 4r^3-\frac{1500^2\cdot 2\cdot \pi^2\cdot r}{\pi^4\cdot r^4} \right )\\\\ \textup{Minimal overflade}\\ \textup{kr\ae ver:}\\& O{\, }'(r)=\underset{\textup{\textbf{{\color{Red} positiv}}}}{\underbrace{\pi\cdot \frac{1}{2\sqrt{r^4+\frac{1500^2}{\pi^2\cdot r^2}}}}}\cdot \left ( 4r^3-\frac{1500^2\cdot 2\cdot \pi^2\cdot r}{\pi^4\cdot r^4} \right )=0\\\\ \textup{dvs.}\\& 4r^3-\frac{1500^2\cdot 2\cdot \pi^2\cdot r}{\pi^4\cdot r^4}=0\\\\& 4r^3-\frac{4.5\cdot 10^6}{\pi^2\cdot r^3}=0\\\\& 4r^6-\frac{4.5\cdot 10^6}{\pi^2}=0\\\\& r^6=\frac{1.125\cdot 10^6}{\pi^2}\\\\& \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
19. februar 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} r=\left ( \frac{1.125\cdot 10^6}{\pi^2} \right )^{\frac{1}{6}}&=&6.96\\\\ h=\frac{1500}{\pi\cdot 6.9632^2}&=&9.85 \end{array}$

Svar #6
21. februar 2021 af c1c12n2b3

#4 1000 tak, jeg forstår den første del, men kan du sætte ord på efter overfalde, forstår ik en hat af det..

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. februar 2021 af ringstedLC

#6:

- I formlen for O indsættes udtrykket for h². Herved fås en funktion O(r), da h² erstattes.

- Funktionen diff. og sættes lig 0 for at bestemme minimum. Da r er positiv, bliver produktet over klammen positivt. Resten er potensregneregler. Brug din CAS.

Svar #8
21. februar 2021 af c1c12n2b3

#7 thanks, og hvorfor er r enlig positiv??

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. februar 2021 af ringstedLC

Der er jo ikke negative værdier på en lineal...

Skriv et svar til: Bestem popcornbægrets dimensioner......

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.