Matematik

Beregn afstand ml. linje, der går gennem P 0 og står vinkelret på normalvektor, til punktet p

24. februar 2021 af petbau - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg sidder med følgende opgave fra webmatematik. (jeg ved ikke lige hvordan jeg får en pil over n):

I et koordinatsystem er givet punkterne P₀=(-10,4), P(-9,9) samt vektoren $n=\begin{pmatrix} -6\\5 \end{pmatrix}$

Bestem den korteste afstand mellem den linje der går gennem punktet P₀ og står vinkelret på n , til punktet P

Min tankegang er følgende. Jeg skal finde linjens ligning først. Dernæst skal jeg bruge formlen: $dist(P,l)=\frac{[ax+by+c]}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Ad1) Hvis jeg "hatter" normalvektoren får jeg en linje, der er parallel med linje fra P₀til P.

^ $\underset{n}{\rightarrow}$ = $\begin{pmatrix} -5\\-6 \end{pmatrix}$ (nu fandt jeg ud af at lave pil, men mangler circon flexe)

Formlen for linjens ligning er: a(x-x₀)+b(y-y₀)=0

x₀=-9 , y₀ = 9

Ved indsættelse af tal får jeg:

-6(x-(-9)) - 5 y-9)=0

-6(x + 9) - 5(y-9)=0

-6x-54-5y+45=0

-6x-5y-9=0

dist(P,l) = $\frac{\left | -6\cdot -10+(-5)\cdot 4-9 \right |}{\sqrt{-6^{2}+-5^{2}}}$

dist(P,l) = 3,96

Det korrekte svar er 2,43

Er der en venlig sjæl, der kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. februar 2021 af mathon

Et punkt kan ikke have en normalvektor.

...linjen der går gennem punktet P₀(-10,4) og står vinkelret på $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} -6\\5 \end{smallmatrix}\bigr)$
har ligningen:
$\small \begin{array}{lllll}& -6(x-(-10))+5(y-4)=0\\\\& -6x-60+5y-20=0\\\\& l\textup{:}\quad 6x-5y+80=0\\\\ \textup{Punktet }P\textup{'s}\\ \textup{afstand til denne:}&d=\frac{\left | 6\cdot (-9)-5\cdot 9+80 \right |}{\sqrt{6^2+(-5)^2}}=\frac{19}{\sqrt{61}}=2.4327 \end{array}$

Svar #2
24. februar 2021 af petbau

Mange tak :-)

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. februar 2021 af Soeffi

#0...I et koordinatsystem er givet punkterne P₀= (-10,4), P = (-9,9) samt vektoren n = (-6,5).

a) Bestem den korteste afstand mellem den linje, der går gennem punktet P₀, og står vinkelret på n, til punktet P.

Svar:

P₀ = (x₀,y₀)

P = (x₁,y₁)

n = (a,b)

l: a·x + b·y + c = 0 ⇒ c = -(a·x₀ + b·y₀)

$dist(P,l)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|a\cdot (x_1-x_0)+b\cdot (y_1-y_0)|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=$

$\frac{|(-6)\cdot ((-9)-(-10))+5\cdot (9-4)|}{\sqrt{(-6)^{2}+5^{2}}}=\frac{19}{\sqrt{61}}=2,43$

Svar #4
24. februar 2021 af petbau

Hej Mathon, det ville være alle tiders, om du lige ville tjekke denne opgave.

Bestem antallet af skæringer mellem en cirkel med ligningen: (x-5)² + (y+10)² = 36. Yderligere er punktet P(-5,3) samt vektor $\vec{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\-3 \end{smallmatrix}\bigr)$ opgivet. Bestem antal skæringer mellem cirklen og linjen der går gennem punktet P og har normalvektor $\vec{n}$

Jeg tror nok, at jeg skal "hatte" normalvektoren for at finde ligningen for linjen. ^ $\vec{^n\vec{n}}=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}$

Linjen l: a(x-x₀)+b(y-y₀)=0

3(x-(-5))+3(y-3)=0

3(x+5)+3(y-3)=0

3x+15+3y-9=0

3x+3y+6=0

r=6 og centrumkoordinaterne til C er (5,-10)

dist(C,l)= $\frac{\left | 3\cdot 5+3\cdot -10+6 \right |}{\sqrt{3^{2}+3^{2}}}$

dist(C,l)= $\frac{9}{\sqrt{18}}$

dist(C,l)= 2,12

Da afstanden 2,12 er mindre end radius 6, er der to skæringer mellem linje og cirklen.

Er dette korrekt?

På forhånd tak for din hjælp

vh Peter

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. februar 2021 af janhaa

#4
Hej Mathon, det ville være alle tiders, om du lige ville tjekke denne opgave.

Bestem antallet af skæringer mellem en cirkel med ligningen: (x-5)² + (y+10)² = 36. Yderligere er punktet P(-5,3) samt vektor $\vec{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\-3 \end{smallmatrix}\bigr)$ opgivet. Bestem antal skæringer mellem cirklen og linjen der går gennem punktet P og har normalvektor $\vec{n}$

Jeg tror nok, at jeg skal "hatte" normalvektoren for at finde ligningen for linjen. ^ $\vec{^n\vec{n}}=\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}$

Linjen l: a(x-x₀)+b(y-y₀)=0

3(x-(-5))+3(y-3)=0

3(x+5)+3(y-3)=0

3x+15+3y-9=0

3x+3y+6=0

r=6 og centrumkoordinaterne til C er (5,-10)

dist(C,l)= $\frac{\left | 3\cdot 5+3\cdot -10+6 \right |}{\sqrt{3^{2}+3^{2}}}$

dist(C,l)= $\frac{9}{\sqrt{18}}$

dist(C,l)= 2,12

Da afstanden 2,12 er mindre end radius 6, er der to skæringer mellem linje og cirklen.

Er dette korrekt?

På forhånd tak for din hjælp

vh Peter

it's 2 intersections between the circle and the line, yes...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x-5%29%5E2%2B%28y%2B10%29%5E2%3D6%5E2%2C+x%2By%2B2%3D0

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. februar 2021 af janhaa

your calculations are correct

Svar #7
24. februar 2021 af petbau

Thanj you

Skriv et svar til: Beregn afstand ml. linje, der går gennem P 0 og står vinkelret på normalvektor, til punktet p

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.