Matematik

Vis en diffentialligning har fuldstændig løsning ved (2)

05. marts 2021 af Mads256 - Niveau: A-niveau

Jeg skal vise at differentialligningen y'(t)=M-k*y(t) har fuldstændig løsning ved (2).

For det første forstår jeg ikke helt spørgsmålet. Hvis den har fuldstændig løsning ved (2), er det så ved y = 2? Og vil det sige den bare går igennem det punkt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} y{\, }'=M-k\cdot y\\\\ y{\, }'+k\cdot y=M\\\\ y=e^{-k\cdot t}\cdot \int M\cdot e^{k\cdot t}\,\mathrm{d}t\\\\ y=e^{-k\cdot t}\cdot\left ( \frac{M}{k}\cdot e^{k\cdot t}+C \right )\\\\ y(t)=Ce^{-k\cdot t}+\frac{M}{k} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. marts 2021 af mathon

detaljer:

$\small \small \begin{array}{llllll} y{\, }'=M-k\cdot y\\\\ y{\, }'+k\cdot y=M&\textup{multipliceres med }e^{k\cdot t}\\\\ y{\, }'\cdot e^{k\cdot t}+k\cdot y\cdot e^{k\cdot t}=M\cdot e^{k\cdot t}\\\\ \left ( y\cdot e^{k\cdot t} \right ){}'=M\cdot e^{k\cdot t}&\textup{der integreres p\aa \ begge sider}\\\\ \int \left ( y\cdot e^{k\cdot t} \right ){}'\, \mathrm{d}t=\int\left ( M\cdot e^{k\cdot t}\right)\, \mathrm{d}t\\\\ y\cdot e^{kt}=\frac{M}{k}\cdot e^{kt}+C\\\\ y=e^{-kt}\cdot \left ( C+\frac{M}{k} \cdot e^{kt}\right )\\\\\\ y(t)=Ce^{-kt}+\frac{M}{k} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. marts 2021 af janhaa

use integrating factor

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. marts 2021 af Soeffi

#0.

Det henviser sikkert til punkt (2) i din opgaveformulering. Her må der stå:...

(2) Ce^-kt + M/k

...som i #2

Skriv et svar til: Vis en diffentialligning har fuldstændig løsning ved (2)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.