Matematik

Den tomme mængde

22. september kl. 17:01 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse denne her opgave. Lad A, B og C være 3 vilkårlige mængder, hvorom det gælder, at:

A\subseteq B

Er dette udsagn sandt:

A\cap C\subseteq B\cap C

Jeg tænker selv:

A er ikke indeholdt i C, og derfor må A snittet med C være den tomme mængde. B er ej heller indeholdt i C, og derfor må B snittet med C også være den tomme mængde. Der står så, at den tomme mængde er indeholdt i den tomme mængde, og dette må være falsk, da den tomme mængde ikke rummer nogen elementer. Er det rigtigt?


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september kl. 17:58 af VandalS

Dit argument kan ikke anvendes på den måde.

Den tomme mængde er en delmængde i alle mængder, inklusive sig selv, så

 \( 1 \) \ \emptyset \subseteq \emptyset

er et sandt udsagn.

Du har ret i, at den tomme mængde ikke indeholder nogen elementer, og du argumenterer for, at udsagnet

\( 2 \) \ \emptyset \in \emptyset

er falsk (hvilket du har ret i), men det er ikke det, opgaven spørger ind til; hvis snittet er tomt får du (1), ikke (2). Der er forskel på at være en delmængde af noget og være et element i noget.
Der er i øvrigt heller ikke noget i opgaven der antyder, at A eller B ikke kan være en del af C?


Brugbart svar (0)

Svar #2
22. september kl. 18:03 af AMelev

Hvorfor mener du, at A ikke er indeholdt i C? Det kunne den da godt være - det er jo vilkårlige mængder, hvor AB er eneste betingelse.
x \in A\cap C\Rightarrow x\in A\wedge x\in C \overset{A\subseteq B}{\Rightarrow } x\in B\wedge x\in C\Rightarrow x \in B\cap C


 

Vedhæftet fil:Udklip-1.JPG

Svar #3
22. september kl. 22:41 af gavs

Okay, så forstår jeg det nok. Så må det her udsagn vel være forkert:

(A\setminus B)\cap C=C \cap ( C)

Med C i parentes mener jeg komplementærmængden til C. Så C snittet med sin komplementærmængde må være den tomme mængde, og A fratrukket B snittet med C er ikke nødvendigvis den tomme mængde, da vi ikke ved noget om C, så derfor må udsagnet være falsk. Ikke?


Brugbart svar (0)

Svar #4
22. september kl. 23:35 af VandalS

Er

A \subseteq B

som før?

I så fald gælder

A \ \backslash \ B = \emptyset

(hvorfor?), så venstresiden er i dette tilfælde altid den tomme mængde, uanset hvordan C er defineret.


Skriv et svar til: Den tomme mængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.