Matematik

Hjælp til løsning af opgaver med Differentialligninger

15. januar kl. 11:26 af Scien - Niveau: Universitet/Videregående

Hej allesammen,

Håber der er nogle af jer der kan hjælpe/forklare mig hvordan jeg skal lave de vedhæftet spørgsmål.

Har rigtig svært ved at forstå differentialligninger og dermed også svært ved at løse opgaverne.


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar kl. 12:35 af ringstedLC


Brugbart svar (0)

Svar #2
15. januar kl. 12:36 af ringstedLC

#0: Når ligninger løses, finder du typisk en x-værdi, der tilfredsstiller ligningen. Når diff.-ligninger løses, finder du en funktion, der tilfredsstiller ligningen. Du skal med andre ord isolere y, - og ikke altså ikke x som.

Husk: Det er stadig en ligning, så (næsten) alle trick gælder.

NB. Kun en opgave (m. underspørgsmål) pr. tråd!


Brugbart svar (0)

Svar #3
15. januar kl. 12:40 af ringstedLC

f) Her skal du undersøge en løsning. Som ved "almindelige" ligninger indsættes løsningen:

\begin{align*} xy'-2y &= -2 \\ x\cdot \bigl(x^2+1\bigr)'-2\cdot \bigl(x^2+1\bigr) &= -2\;,\;y(x)=x^2+1 \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar kl. 13:01 af ringstedLC

h) Genkend:

\begin{align*} y'=k\cdot y\Rightarrow y &= c\cdot e^{k\,x} \\ \Rightarrow c &= \frac{3}{e^{k}}\;,\;y(1)=3 \\y &= ... \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #5
15. januar kl. 17:24 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{i)}\\&& y{\, }''+5y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+5r+4=0\\\\&& r=\left\{\begin{matrix} -4\\ -1 \end{matrix}\right.\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y= C_1\cdot e^{-4x}+ C_2\cdot e^{-x} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
15. januar kl. 18:33 af mathon

\small \small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{j)}\\&& y{\, }''+4y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+4r+4=0\\\\&& r=-2\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y=\left (C_1+C_2\cdot x \right )\cdot e^{-2x} \\& \textup{Konstant-}\\& \textup{beregning:}\\&& 1=\left ( C_1+C_2\cdot 0 \right )\cdot e^{\, 0}\\\\&& C_1=1\\\\&& y=\left ( 1+C_2\cdot x \right )\cdot e^{-2x}\\\\&& y{\, }'=C_2\cdot e^{-2x}+(1+C_2\cdot x)\cdot e^{-2x}\cdot \left ( -2 \right )\\\\&&y{\, }'=2=\left (C_2-2 \right )\cdot1\\\\&& C_2=4\\\\& \textup{L\o sning:}\\&&y=\left (1+4x \right )\cdot e^{-2x} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #7
15. januar kl. 18:45 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{k)}\\&& y{\, }''+3y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+3r+4=0\\\\&& r=\left\{\begin{matrix} -\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \textbf{\textit{i}}\\ -\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \textbf{\textit{i}} \end{matrix}\right.\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y=e^{-\frac{3}{2}x}\cdot \left ( C_1\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} x\right )+C_2\sin\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} x \right ) \right ) \end{array}


Svar #8
16. januar kl. 21:41 af Scien

Jeg kommer frem til løsningen er y=3e^2-2x til opgave h) er det korrekt?


Brugbart svar (0)

Svar #9
16. januar kl. 22:26 af ringstedLC

Løsningen:

\begin{align*} y &= 3e\,\widehat{\;}\;2-2x \\\Rightarrow \underset{y'}{\underbrace{\bigl(3e^{2}-2x\bigr)'}}+2\cdot \bigl(\underset{y}{\underbrace{3e^{2}-2x}}\bigr) &= 0 \\ -2+6e^2-4x &\;{\color{Red} \neq}\;0\;,\;x\in\mathbb{R} \end{align*}

Hvorimod løsningen:

\begin{align*} y &= 3e\;\widehat{\;}\,{\color{Red} (}2-2x{\color{Red} )} \\ \Rightarrow \underset{y'}{\underbrace{\bigl(3e^{2-2x}\bigr)'}}+2\cdot \underset{y}{\underbrace{3e^{2-2x}}} &= 0 \\ -6e^{-2x+2}+6e^{-2x+2} &=0 \end{align*}


Svar #10
17. januar kl. 16:09 af Scien

Hov jeg mente også y=3e^(2-2x) glemte lige at sætte parantesen 


Skriv et svar til: Hjælp til løsning af opgaver med Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.