Matematik

Hjælp til løsning af opgaver med Differentialligninger

15. januar 2022 af Scien - Niveau: Universitet/Videregående

Hej allesammen,

Håber der er nogle af jer der kan hjælpe/forklare mig hvordan jeg skal lave de vedhæftet spørgsmål.

Har rigtig svært ved at forstå differentialligninger og dermed også svært ved at løse opgaverne.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-01-15 kl. 11.20.40.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2022 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. januar 2022 af ringstedLC

#0: Når ligninger løses, finder du typisk en x-værdi, der tilfredsstiller ligningen. Når diff.-ligninger løses, finder du en funktion, der tilfredsstiller ligningen. Du skal med andre ord isolere y, - og ikke altså ikke x som.

Husk: Det er stadig en ligning, så (næsten) alle trick gælder.

NB. Kun en opgave (m. underspørgsmål) pr. tråd!

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. januar 2022 af ringstedLC

f) Her skal du undersøge en løsning. Som ved "almindelige" ligninger indsættes løsningen:

$\begin{align*} xy'-2y &= -2 \\ x\cdot \bigl(x^2+1\bigr)'-2\cdot \bigl(x^2+1\bigr) &= -2\;,\;y(x)=x^2+1 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar 2022 af ringstedLC

h) Genkend:

$\begin{align*} y'=k\cdot y\Rightarrow y &= c\cdot e^{k\,x} \\ \Rightarrow c &= \frac{3}{e^{k}}\;,\;y(1)=3 \\y &= ... \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{i)}\\&& y{\, }''+5y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+5r+4=0\\\\&& r=\left\{\begin{matrix} -4\\ -1 \end{matrix}\right.\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y= C_1\cdot e^{-4x}+ C_2\cdot e^{-x} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. januar 2022 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{j)}\\&& y{\, }''+4y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+4r+4=0\\\\&& r=-2\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y=\left (C_1+C_2\cdot x \right )\cdot e^{-2x} \\& \textup{Konstant-}\\& \textup{beregning:}\\&& 1=\left ( C_1+C_2\cdot 0 \right )\cdot e^{\, 0}\\\\&& C_1=1\\\\&& y=\left ( 1+C_2\cdot x \right )\cdot e^{-2x}\\\\&& y{\, }'=C_2\cdot e^{-2x}+(1+C_2\cdot x)\cdot e^{-2x}\cdot \left ( -2 \right )\\\\&&y{\, }'=2=\left (C_2-2 \right )\cdot1\\\\&& C_2=4\\\\& \textup{L\o sning:}\\&&y=\left (1+4x \right )\cdot e^{-2x} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. januar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{k)}\\&& y{\, }''+3y{\, }'+4y=0\\&\textup{Karakterligning:}\\&& r^2+3r+4=0\\\\&& r=\left\{\begin{matrix} -\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \textbf{\textit{i}}\\ -\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot \textbf{\textit{i}} \end{matrix}\right.\\\\& \textup{L\o sning:}\\&& y=e^{-\frac{3}{2}x}\cdot \left ( C_1\cdot \cos\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} x\right )+C_2\sin\left ( \frac{\sqrt{7}}{2} x \right ) \right ) \end{array}$

Svar #8
16. januar 2022 af Scien

Jeg kommer frem til løsningen er y=3e^2-2x til opgave h) er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
16. januar 2022 af ringstedLC

Løsningen:

$\begin{align*} y &= 3e\,\widehat{\;}\;2-2x \\\Rightarrow \underset{y'}{\underbrace{\bigl(3e^{2}-2x\bigr)'}}+2\cdot \bigl(\underset{y}{\underbrace{3e^{2}-2x}}\bigr) &= 0 \\ -2+6e^2-4x &\;{\color{Red} \neq}\;0\;,\;x\in\mathbb{R} \end{align*}$

Hvorimod løsningen:

$\begin{align*} y &= 3e\;\widehat{\;}\,{\color{Red} (}2-2x{\color{Red} )} \\ \Rightarrow \underset{y'}{\underbrace{\bigl(3e^{2-2x}\bigr)'}}+2\cdot \underset{y}{\underbrace{3e^{2-2x}}} &= 0 \\ -6e^{-2x+2}+6e^{-2x+2} &=0 \end{align*}$

Svar #10
17. januar 2022 af Scien

Hov jeg mente også y=3e^(2-2x) glemte lige at sætte parantesen

Skriv et svar til: Hjælp til løsning af opgaver med Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.