Hvad menes der med "restriktionen af f"?

#0 Vedhæft et billede af (hele) opgaven. Der er formentlig tale om en funktion der er afledt f.

#1

#0 Vedhæft et billede af (hele) opgaven. Der er formentlig tale om en funktion der er afledt f.

Ok, her er hele opgaven 

#2. Indsætter redigeret billede.

Skal du kun have hjælp til d) ?

#3

#2. Indsætter redigeret billede.

Skal du kun have hjælp til d) ?

Ja, og det er mest bare forståelsen af spørgsmålet:) 

Især hvad der menes med "restriktionen af f"

Restriktion, generelt:

g: D->B er en funktion. M er en delmængde af D. ser man udelukkende på g som en funktion af M->B, kaldes denne funktion restriktionen af g til M.

Et praktisk eksempel: h er højden over havets overflade i et landområde L. Gennem landområdet går en vej, V. For en vejfarende er er højden kun relevant for den del af h, der drejer sig om vejen, så det interessante er her h's restriktion til V.

#4. Restriktionen af f til en ret linje y = a·x + b (a ≠ 0) er en funktion, g(x) = f(x,a·x + b). Da y går gennem (0,0), så er b = 0. Dvs.: g(x) = -(1/4)·x⁴ + (5/4)·a·x³ - a²·x² + 1 og g(0) = 1.

g'(x) = -x³ + (15/4)·a·x² - 2·a²·x.

g'(x) = 0 ⇔ -x³ + (15/4)·a·x² - 2·a²·x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = (15/8 + (1/8)√97)·a ∨ x = (15/8 - (1/8)√97)·a.

g''(x) = -3·x² + (15/2)·a·x - 2·a² ⇒ g''(0) = -2·a². Da g''(0) < 0 for alle a, så er g(0) lokalt maksimum for alle a og dermed har alle restriktioner af f til en ret linje gennem B lokalt maksimum i B. 

#6. Rettelse: Restriktionen af f til en ret linje y = a·x + b (a,b ∈ R) er en funktion, g(x) = f(x,a·x + b). Da y går gennem (0,0), så er b = 0. Dvs.: g(x) = -(1/4)·x⁴ + (5/4)·a·x³ - a²·x² + 1.

#6...Rettelse: g''(x) = -3·x² + (15/2)·a·x - 2·a² ⇒ g''(0) = -2·a². Da g''(0) < 0 for alle a ≠ 0, så er g(0) lokalt maksimum for alle a a ≠ 0 og dermed har alle restriktioner af f til en ret linje gennem B lokalt maksimum i B, når a ≠ 0. 

 #7. Tilføjelse...

#6...Restriktionen af f til en ret linje y = a·x + b (a,b ∈ R) er en funktion, g(x) = f(x,a·x + b). Da y går gennem (0,0), så er b = 0. Dvs.: g(x) = -(1/4)·x⁴ + (5/4)·a·x³ - a²·x² + 1.

Hertil kommer g(y) = f(0,y) = 1 - y².

#9

 #7. Tilføjelse...

#6...Restriktionen af f til en ret linje y = a·x + b (a,b ∈ R) er en funktion, g(x) = f(x,a·x + b). Da y går gennem (0,0), så er b = 0. Dvs.: g(x) = -(1/4)·x⁴ + (5/4)·a·x³ - a²·x² + 1.

Hertil kommer g(y) = f(0,y) = 1 - y².

Okay mange tak, det giver god mening! men hvorfor har f så ikk lokalt maksimum i B - i forrige opgave fandt jeg frem til at det var et saddelpunkt 

#10. I spørgsmål c fik du formodentlig, at Hesse-metoden giver to egenværdier: 0 og -2. Dermed kan du ikke slutte noget af metoden! Hvordan fik du et saddelpunkt?

#11

#10. I spørgsmål c fik du formodentlig, at Hesse-metoden giver to egenværdier: 0 og -2. Dermed kan du ikke slutte noget af metoden! Hvordan fik du et saddelpunkt?

Ja lige præcis, nu bliver jeg faktisk selv i tivil om jeg ved at det er et sadelpunkt. Tror mest det er fordi det ud fra grafen for f, linger et sadelpunkt. Men kan dette bestemmes på nogen måde, når den ene værdi i Hesse matricen er 0? 

Grafen for f er vedhæften:))

#12. Men kan dette bestemmes på nogen måde, når den ene egen-værdi i Hesse matricen er 0? 

Det kræver en nærmere undersøgelse som her.

#5

Restriktion, generelt:

g: D->B er en funktion. M er en delmængde af D. ser man udelukkende på g som en funktion af M->B, kaldes denne funktion restriktionen af g til M.

Et praktisk eksempel: h er højden over havets overflade i et landområde L. Gennem landområdet går en vej, V. For en vejfarende er er højden kun relevant for den del af h, der drejer sig om vejen, så det interessante er her h's restriktion til V.

Det er rigtigt. Her i opgaven er vejen, der tales om, punkterne på en ret linje i D gennem (0,0).

#0. Jeg har prøvet at løse (a) og får også noget, som ser rigtigt ud, men der kommer ikke desto mindre en fejlmeddelelse. Kender du den rigtige kommando? 

#12...kan dette bestemmes på nogen måde...?

Det er et saddelpunkt. Argumentet er følgende:

For en vilkårlig omegn omkring B = (0,0), så vil man både kunne finde værdier af f som er større end 1 og værdier som er mindre.

Man kan vælge et punkt langs kurven f(x,0.5·x²) = (1/8)·x⁴ + 1 (som nævnt ved spørgsmål a) for at finde værdier, som er større end 1 og værdier langs kurven f(0,y) = 1 - y² for at finde nogle som er mindre.

#15. Rettelse af Maple-plot så, der ikke kommer fejl, og så x = 0 restriktionen til f bliver vist (blå kurve).

#0. Svar til b). Nedenfor er vist Hessematricen, Taylor approximationen i anden orden og en graf for f(x,y) - P₂(x,y). Største fejl = 0,0012. (Arten af P₂ kender jeg ikke).

Jeg glemte at skrive Taylorpolynomiet ud: 

#18

#0. Svar til b). Nedenfor er vist Hessematricen, Taylor approximationen i anden orden og en graf for f(x,y) - P₂(x,y). Største fejl = 0,0012. (Arten af P₂ kender jeg ikke).

Jeg glemte at skrive Taylorpolynomiet ud: 

Taak for al hjælpen! Det giver god mening! 

Kan dog stadig ikke helt forstå hvorfor alle linjer ville have B som toppunkt - når dette er et saddelunkt. 

Hvorfor kan disse ikke antage højere værdier end B?

#19.

Jeg giver dig ret i, at det virker forkert, men jeg kender ikke svaret.