Matematik
opgave om uniform kontinuitet
Hej jeg sidder med en opgave i mit første analysefag og forstår ikke rigtig hvordan den skal gribes an, da man ikke har nogle "reelle" tal at arbejde med.
Lad g : R → R være en kontinuert funktion, defineret på heleden reelle akse.
Antag at
g(x) → a for x → −∞
g(x) → b for x → ∞
for to reelle tal a og b.
(a) Gør rede for at der for hvert epsilon> 0 findes et K > 0 sådan at
|g(x) − g(y)| < epsilon blot x, y > K .
(b). Vis at f er uniformt kontinuert?
Svar #1
06. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren
g(x) →b for x→∞ betyder, at for ethvert ε>0 findes der et reelt tal, så at for x>K er |g(x) - b| < ε.
Det betyder også at for ethvert ε>0 findes der et andet reelt tal K½, så at for x>K½ er |g(x) - b| <ε/2.
|g(x) - g(y)| = |g(x)-b + b -g(y)| < |g(x)-b| + |b-g(y)| = |g(x)-b| + |g(y)-b| < 2*ε/2 = ε.
Svar #2
06. marts 2022 af anonym51
Hvad mener du med K½, er det bare et andet reelt tal eller er der et forhold mellem K og K½?
og skal "|g(x) - g(y)| = |g(x)-b + b -g(y)| < |g(x)-b| + |b-g(y)|" ikke være med svag ulighed "≤"?
Svar #3
06. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren
Det er et andet reelt tal, der spiller samme rolle som K, blot med ε/2 i stedet for med ε.
Jo, det skal det. Rart at se, at du er mere vågen end jeg.
Svar #4
06. marts 2022 af anonym51
Tusind tak for hjælpen, tror jeg har fået konstrueret et udemærket svar til a), men jeg er stadig lidt i tvivl om hvordan jeg viser at g er uniformt kontinuert? (se bort fra at jeg kom til at skrive f i beskrivelsen)
Svar #5
06. marts 2022 af Eksperimentalfysikeren
Der er jeg desværre lidt rusten. Det er trods alt mere end 4 år siden, jeg selv havde stoffet.
Skriv et svar til: opgave om uniform kontinuitet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.