hjælp til en opgave

Hvis P flyttes til A₁:

.

hej jeg forstår ikke din udregning 

#1

Hvis P flyttes til A₁:

hvordan får du A₂F₂+A₁F₂?

jeg har prøvet og jeg siger (A₁(-x,0))

k=A₁F₁+A₁F₂

=-x0+x+x0+x

=2x

jeg tænker så at nu skal jeg så bruge A₂(x,0) så jeg siger

k=A₂F₁+A₂F₂

=-x0-x+x0-x

=-2x

Så jeg har k=2x og k=-2x men hvad gør jeg galt???? og hvordan kan jeg få det til at være storaksen som du siger?

jeg prøver nu igen

k=A₁F₁+A₁F₂=-x0+x+x0+x=2x

nu regner vi så

2a=A₁F₁+F₁F₂+F₂A₂=-x0+x+x0+x0+x-x0=2x

så fordi k=2x og 2a=2x så er k=2a????

ps jeg bruger A₁(-x,0), F₁(-x0,0), F₂(x0,0) og A₂(x,0) så er det sandt mit resultet?

Der oplyses, at PF₁ + PF₂ = k, hvor P er et vilkårligt punkt på ellipsen og F₁ og F₂ er to punkter inden for ellipsen. Hvis man bestemmer ellipsens storakse, vil man få 2a = A₁F₁ + F₁F₂ + A₂F₂. Nu handler det om at bestemme F₁F₂.

Der ses, at

F₁F₂ = A₁F₂ - A₁F₁    og    F₁F₂ = A₂F₁ - A₂F₂.

Prøv at lægge de to sammen, og så isolér F₁F₂. Denne skal du indsætte i

2a = A₁F₁ + F₁F₂ + A₂F₂,

og se om det vil give k.

#4

hvordan får du A₂F₂+A₁F₂?

tak skal I have det giver god mening nu

#7

Synes ikke symmetrien er nævnt i opgaven. Punkterne F₁ og F₂ er vist vilkårlige i storaksen.

Det er ellipsens brændpunkter og de ligger vel symmetrisk om lilleaksen.

Jeg underviser mat A og kan fortælle, at denne opgave er taget fra forberedelsesmaterialet om keglesnit og derfor er der tale om, at F₁ og F₂ er ellipsens brændpunkter, som der også nævnes i #11. :-)

Jeg var ikke klar over, at brændpunkterne skulle betyde, at punkterne lå symmetrisk omkring lilleaksen.

#0. Givet:

1) Summen af afstandene fra et vilkårligt punkt P på ellipsen til de to brændpunkter lig med k.

2) Det ses af tegningen af afstandene fra storaksens endepunkter (A₁ og A₂) til deres nærmeste brændpunkt er den samme.

3) Det ses også af tegningen, at brændpunkterne ligger begge på storaksen, som i øvrigt har længden 2a. Som følge heraf gælder bl.a., at afstanden fra A₁ til F₂ plus afstanden fra F₂ til A₂ lig med 2a.

Dette kan også skrives:

1) |F₁P| + |F₂P| = k 

2) |A₁F₁| = |A₂F₂| 

3) |A₁F₂| + |A₂F₂| = 2a 

Man skal vise: k = 2a

Bevis: Ved at sætte P = A₁ så får man: 

(1): |A₁F₁| + |A₁F₂| = k  (det, der gælder for A₁, gælder for alle punkter på ellipsen)

(3)+(2): |A₁F₂| + |A₂F₂| = 2a ⇔ |A₁F₂| + |A₁F₁| = 2a  (dette er uafhængigt af valget af P)

Heraf ses umiddelbart, at: k = 2a. QED.