Matematik

Konstruer en følge og funktion u som er lebesgue integrabel

01. oktober kl. 19:16 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude,

Jeg har følgende opgave:

Konstruer en følge (u_j)_{j=1}^{\infty} i \mathbb{L}^1(\lambda) og en funktion u\in \mathbb{L}^1(\lambda) så u_j \rightarrow u

\int_{\mathbb{R}}u\:d\lambda=3 \: \: and \: \: \int_{\mathbb{R}}u_j\:d\lambda=1

Vink: prøv u_j=\alpha_j 1_A_j+\beta_j 1_B_j med passende \alpha_j,\beta_j \in \mathbb{R} og passende valgte borelmængderA_j \: og B_j

Dette ved jeg:

1. u=\lim_{j\rightarrow \infty} u_j,

2. Jeg er bekendt med alle egenskaberne for Lebesgue integrable funktioner

3. Man skal bestemme 2 mængder A_j \: og \: B_j (og alpha og beta) så 

\int_{\mathbb{R}} u\:d\lambda=\lim_{j\rightarrow \infty}\int_{\mathbb{R}} u_j\:d\lambda=3 \: \: and \: \: \int_{\mathbb{R}}u_j\:d\lambda=1

Jeg kan kun få den ene til at gå op, også er det andet integrale noget som indeholder et j.

Kan nogen se en god mængde at starte med?


Svar #1
01. oktober kl. 19:32 af louisesørensen2

Min første idé var at vælge 

\alpha_j=\beta_j=1, \: A_j=[4,1], \: B_j=[j,-\frac{1}{j}-2+j]

Også sætte u=1_{A_j}, men den går vidst ikke.


Brugbart svar (1)

Svar #2
01. oktober kl. 22:25 af SådanDa

Du skriver at

 \int_{\mathbb{R}}u \ \textup{d}\lambda=\lim_{j\to\infty}\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=3,

og at,

\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=1, jeg går ud fra at dette er for alle j.

Men i så fald må vi jo have

\lim_{j\to\infty}\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=\lim_{j\to\infty}1=1. Så det er ikke rigtigt, altså taler vi om et tilfælde hvor man ikke kan trække grænseværdien udenfor integralet. (så du ved at betingelserne for monoton og domineret konvergens ikke må være opfyldt.)

Min løsning er noget i stil med:

\alpha_j=\frac{3}{1-\frac{1}{j}},\ \beta_j=\frac{-2}{\frac{1}{j}},\ A_j=[0,1-\frac{1}{j}], \ B_j=[1-\frac{1}{j},1],

jeg har dog ikke gennemgået det minutiøs.


Brugbart svar (2)

Svar #3
02. oktober kl. 21:14 af norm

Du kan vælge det endnu mere simpelt ved fx:

I_{[0,3]}-\frac{2}{n}I_{_{[4,4+n]}}


Svar #4
02. oktober kl. 21:27 af louisesørensen2

Tak for hjælpen til jer begge.


Skriv et svar til: Konstruer en følge og funktion u som er lebesgue integrabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.