Matematik

Konstruer en følge og funktion u som er lebesgue integrabel

01. oktober 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude,

Jeg har følgende opgave:

Konstruer en følge $(u_j)_{j=1}^{\infty}$ i $\mathbb{L}^1(\lambda)$ og en funktion $u\in \mathbb{L}^1(\lambda)$ så $u_j \rightarrow u$

$\int_{\mathbb{R}}u\:d\lambda=3 \: \: and \: \: \int_{\mathbb{R}}u_j\:d\lambda=1$

Vink: prøv $u_j=\alpha_j 1_A_j+\beta_j 1_B_j$ med passende $\alpha_j,\beta_j \in \mathbb{R}$ og passende valgte borelmængder $A_j \: og B_j$

Dette ved jeg:

1. $u=\lim_{j\rightarrow \infty} u_j$ ,

2. Jeg er bekendt med alle egenskaberne for Lebesgue integrable funktioner

3. Man skal bestemme 2 mængder $A_j \: og \: B_j$ (og alpha og beta) så

$\int_{\mathbb{R}} u\:d\lambda=\lim_{j\rightarrow \infty}\int_{\mathbb{R}} u_j\:d\lambda=3 \: \: and \: \: \int_{\mathbb{R}}u_j\:d\lambda=1$

Jeg kan kun få den ene til at gå op, også er det andet integrale noget som indeholder et j.

Kan nogen se en god mængde at starte med?

Svar #1
01. oktober 2022 af louisesørensen2

Min første idé var at vælge

$\alpha_j=\beta_j=1, \: A_j=[4,1], \: B_j=[j,-\frac{1}{j}-2+j]$

Også sætte $u=1_{A_j}$ , men den går vidst ikke.

Brugbart svar (1)

Svar #2
01. oktober 2022 af SådanDa

Du skriver at

$\int_{\mathbb{R}}u \ \textup{d}\lambda=\lim_{j\to\infty}\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=3,$

og at,

$\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=1$ , jeg går ud fra at dette er for alle j.

Men i så fald må vi jo have

$\lim_{j\to\infty}\int_{\mathbb{R}}u_j \ \textup{d}\lambda=\lim_{j\to\infty}1=1$ . Så det er ikke rigtigt, altså taler vi om et tilfælde hvor man ikke kan trække grænseværdien udenfor integralet. (så du ved at betingelserne for monoton og domineret konvergens ikke må være opfyldt.)

Min løsning er noget i stil med:

$\alpha_j=\frac{3}{1-\frac{1}{j}},\ \beta_j=\frac{-2}{\frac{1}{j}},\ A_j=[0,1-\frac{1}{j}], \ B_j=[1-\frac{1}{j},1]$ ,

jeg har dog ikke gennemgået det minutiøs.

Brugbart svar (2)

Svar #3
02. oktober 2022 af norm (Slettet)

Du kan vælge det endnu mere simpelt ved fx:

$I_{[0,3]}-\frac{2}{n}I_{_{[4,4+n]}}$

Svar #4
02. oktober 2022 af louisesørensen2

Tak for hjælpen til jer begge.

Skriv et svar til: Konstruer en følge og funktion u som er lebesgue integrabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.