Population af muldvarper, Vejen til Matematik A2, Opgave 185, Side 167, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

#0 Der er et problem med c). Med ligningen                                                                                                                                                 562,5·e ^-0,50·t  =   0,20 ·(1 + 2,25·e ^-0,50·t)²                                                          betragter du på højresiden faktoren (1 + 2,25 • e ^{-0,50 • t})² som du med din lommeregner får til at være tallet 1. Den går ikke. 

Tak for svaret.

Jeg var skeptisk med mit forsøg på at isolere tallet t og det er derfor jeg stillede spørgsmålet.

Men som du skriver - Den går ikke.

Sådan isolerer man ikke tallet t.

Men hvordan løser man så spørgsmål c.

På forhånd tak

#2 Givet størrelsen e^-0,5t ville jeg nok bruge et CAS-værktøj til at løse ligningen.

Tak for svaret

Til at bestemme væksthastigheden  N ' (t)  i spørgsmål b) anvendte jeg kvotientreglen således:

1)    

                  ( 500 )' • (1 + 2,25 • e^{-0,50 • t} ) - 500 • (1 + 2,25 • e^{-0,50 • t} )' 

N' ( t ) = ------------------------------------------------------------------------------------- =

                                    (1 + 2,25 • e^{-0,50 • t} )²

                    -500 • ( - 1,125 • e^{-0,50 • t} )

                 ---------------------------------------- =

                      ( 1 + 2,25 • e ^{-0,50 • t} )²

                          562,5 • e ^{-0,50 • t} 

                  --------------------------------------

                     ( 1 + 2,25 • e ^{-0,50 • t} )²

2) Jeg har så ved brug af TI - 89 Titanium fået bestemt N ' ( t ) på følgende måde idet i Ti - 89 Titanium anvendes ikke t men i stedet for x.

Taste sekvensen er følgende:

Først tastes

d  (f ) , x → df (x)  tryk enter og svaret er Done

Dernæst tastes

               500      

 ------------------------------ → f ( x )         tryk enter og svaret er   Done

   1 + 2,25 • e^{-0,50 • x} 

Til slut tastes:

d f  ( x ) tryk enter og svaret er (der anvendes ikke komma men i stedet for symbolet for punktum er .) :

                     562.5 ( 1.6487 )^x

              --------------------------------

                 (( 1.6487 )^x + 2,25 )²

I spørgsmål b) viser det sig at det ikke er ligegyldigt hvilken metode der er anvendt idet der forskel på om man anvender kvotientreglen til at bestemme N ' ( t ) eller man anvender N ' ( x ) som er bestemt med TI - 89 Titanium.

I c) skal man beregne væksthastigheden til tiden t = 6

Anvendes N ' ( t ) hvor t = 6 fås følgende resultat:

                          562,5 • e ^{-0,50 • 6}

                  -------------------------------------- = 22,6471

                     ( 1 + 2,25 • e ^{-0,50 • 6} )²

Anvendes i stedet for N ' ( x ) hvor x = 6 (der bestemt med Ti - 89 Titanium) fås følgende resultat:

                     562.5 ( 1.6487 )⁶

              -------------------------------- = 22.6485 som er 22,6 i facitlisten 

                 (( 1.6487 )⁶ + 2,25 )²

I c) skal man bestemme til hvilket tidspunkt er væksthastigheden 0,20.

Mit forsøg med N ' ( t ) var ikke rigtig.

I stedet for bruges funktionen Solve i Ti - 89 Titanium således:

solve (562.5 • 1.6487^(x) / ((1.6487^(x) + 2.25)⁽²⁾ = 0.20,x) og man får to løsninger:

x = - 12.6370                or                  x = 15.8806

Da væksthastigheden ikke kan være negativ er løsningen:

x = 15.8806 ≈ 15.9 og det passer med facitlisten da x = 15,9

#0. Opgaven. Hvordan isoleres t i spørgsmål c?

I en population af muldvarper er antallet af individer, N, til tiden t giver ved:

a) Til hvilket tidspunkt er der 400 muldvarper? (Facit: 4,39)    

b)  Beregn væksthastigheden til tiden t = 6. (Facit: 22,6)

c) Til hvilket tidspunkt er væksthastigheden 0,20? (Facit: 15,9)

#6. Løsning i Wolfram Alpha:

Hvis du vælger "approximate form", så får du 15,9.

Tak for svaret

Tak for svaret