Matematik

Integralregning - beregn arealet, Vejen til Matematik A2, Opgave 276 b, Side 213, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

06. april 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Grafen for hver funktion afgrænser sammen med x-aksen og to lodrette linjer x = 1 og x = 3 en punktmængde med x-aksen, der har et areal. Løs for hver funktion følgende opgaver.

Mit spørgsmål drejer sig om b)

b) f ( x ) = x² • ( 1 + 2 ln x )

3 3

∫ x² • ( 1 + 2 ln x ) dx = [ 1/3 • x ³ ( x + 2 x ln x -x ] =

1 1

( 1 / 3 ) • 3³ • ( 3 + 2 • 3 • ln 3 - 3 ) - ( (1 / 3 ) • 1³ • 1 • ln 1 - 1 )) = 54 • ln ( 3 ) +1 = 60,3251

Bogens facit side 395 er 22,66.

Så arealet er 22,66

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert for er min stamfunktion forkert ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. april 2023 af Anders521

#0 Ja, din "stamfunktion" F(x) =(1/3)·x³·( x + 2xln(x) - x ) er forkert for hvis du differentierer den, får du ikke forskriften for f, så F' ≠ f . Hvis f skal integreres, kan du, ved at omskrive den som en sum, bruge partiel integration.

Svar #2
06. april 2023 af ca10

Tak for svaret jeg ser nærmere på det

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. april 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Pr\o ve}:\\ \Bigl(\tfrac{1}{3}\,x^3\cdot \bigl(x+2x\cdot \ln(x)-x\bigr)\Bigr)' &&= f(x) \\ \Bigl(\tfrac{1}{3}\,x^3\cdot 2x\cdot \ln(x)\Bigr)' &&= f(x) \\ \Bigl(\tfrac{2}{3}\,x^4\cdot \ln(x)\Bigr)' &= \tfrac{8}{3}\,x^3\cdot \ln(x)+ (...) &\;{\color{Red} \neq }\,f(x) \end{align*}$

Svar #4
06. april 2023 af ca10

Tak for svaret jeg ser nærmere på det.

Brugbart svar (1)

Svar #5
07. april 2023 af M2023

#0. b) Partiel integration...

$\int_1^3 x^2 \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\;dx=$

$\left [ \left ( \int x^2\;dx \right )\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) ) \right ]_1^3-\int_1^3 \left ( \int x^2\;dx \right ) \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )'\;dx=$

$\left [ \frac{1}{3}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\right ]_1^3-\int_1^3 \frac{1}{3}\cdot x^3 \cdot \frac{2}{x}\;dx=$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )- \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ x^3\cdot (1+6\cdot ln (x)) \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ 27\cdot (1+6\cdot ln (3)) - 1 \right ]=22,66$

Svar #6
07. april 2023 af ca10

Til #5 - Citér tak for svaret

Jeg går din beregning igennem for i bogen Vejen til Matematik A2 står der ikke noget om Partiel inegration.

Svar #7
07. april 2023 af ca10

I bogen fremgår der ikke regnereglen partiel integrationen. Der er vedhæftede en fil med regnereglerne i bogen og opgave 276.

Regnereglen for partiel integration har jeg fundet i MATEMATISK FORMELSAMLING, GYMNASIET, MATEMATISK LINJE 3-ÅRIGT FORLØB TIL A-NIVEAU SIDE 33, NR 184.

b b b

∫ f ( x ) • g ( x ) dx = [ F x ) • g ( x ) ] - ∫ F ( x ) • g ' ( x ) dx

a a a

Jeg undre mig hvad der foregik mellem anden og fjerde lighedstegn.

Her mine mellemregninger:

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 3 ) • ( 1 / 3 ) • ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 3 ) • ( 1 / 3 ) x ³ • ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x ³• ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x² • 2 ) ] =

Laver fællesnævner ganger med tallet 3:

[ ( 3 / 9 ) • x³( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x² • 2 • 3 ) ] =

[ ( 1 /93 ) • x³( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x²• 6 ) ] =

Sætter ( 1 / 9 ) uden for parentes

[ ( 1 /9 ) • x³ ( 1 + 6 ln ( x )) ] =

og ln ( 1 ) = 0

( 1 / 9 ) • [ 27 • ( 1 + ln ( 3 ) - 1 ] = 22,66

Det blev lidt langt men jeg håber at mine mellem regninger er rigtige.

Svar #8
07. april 2023 af ca10

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
08. april 2023 af M2023

#7. Jeg undrer mig over, hvad der foregik mellem anden og fjerde lighedstegn (i #5).

#5.

$\int_1^3 x^2 \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\;dx=$

$\left [ \left ( \int x^2\;dx \right )\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) ) \right ]_1^3-\int_1^3 \left ( \int x^2\;dx \right ) \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )'\;dx=$

$\left [ \frac{1}{3}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\right ]_1^3-\int_1^3 \left ( \frac{1}{3}\cdot x^3 \right ) \cdot \left ( \frac{2}{x} \right ) dx=$

$\left [ \frac{1}{3}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\right ]_1^3-\int_1^3 \frac{2}{3}\cdot x^2\;dx=$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) ) \right ]_1^3 - \left [ \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3 =$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )- \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ x^3\cdot (1+6\cdot ln (x)) \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ 27\cdot (1+6\cdot ln (3)) - 1 \right ]=22,66$

Svar #10
08. april 2023 af ca10

Tak for svaret jeg ser på det.

Svar #11
08. april 2023 af ca10

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 3 ) • ( 1 / 3 ) • ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 3 ) • ( 1 / 3 ) x ³ • ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x ³• ( 2 / x ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x³ • 2 ) ] =

[ ( 1 / 3 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 1 / 9 ) • x³• 2 ) ] =

Laver fællesnævner ganger med tallet 3:

[ ( 3 / 9 ) • x³( 1 + 2 ln ( x )) - [( 2 / 9 ) • x³ ) ] =

[ ( 3 / 9 ) • x³ ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 2 / 9 ) • x³ ) ] =

I din mellemregning i #7 mellem femte og sjette lighedstegn gør du følgende, er det rigtig forstået

3 3

[ ( 3 / 9 ) • x³ • ( 1 + 2 ln ( x )) - ( 2 / 9 ) x³ ] = [ ( 1 / 9 ) x³ • ( 1 + 2 ln ( x )) ]

1 1

[ ( 1 / 9 ) x³ • ( 1 + 2 ln ( x )) ]

Problemet er, at jeg kan ikke se hvordan ( 1 + 2 ln ( x )) bliver omformet til ( 1 + 6 ln ( x )) hvordan bliver tallet 2 til tallet seks mens at tallet et forbliver det samme ?

[ ( 1 /9 ) • x³ ( 1 + 6 ln ( x )) ] =

og ln ( 1 ) = 0

( 1 / 9 ) • [ 27 • ( 1 + ln ( 3 ) - 1 ] = 22,66

Brugbart svar (1)

Svar #12
08. april 2023 af Anders521

#11 Du spørger om følgende:

jeg kan ikke se hvordan ( 1 + 2 ln ( x )) bliver omformet til ( 1 + 6 ln ( x ))

Der laves nu en række mellemregninger for at vise hvordan man kan komme fra 6. til 7. linje i #9:

$\begin{align*} \bigg[ \frac{3}{9}x^3(1+2\cdot\ln(x))-\frac{2}{9}x^3\bigg]_1^3 &= \frac{1}{9}\bigg[3x^3(1+2\cdot\ln(x))-2x^3\bigg]_1^3\\ &= \frac{1}{9}\bigg[3x^3+6x^3\cdot\ln(x))-2x^3\bigg]_1^3 \\ &= \frac{1}{9}\bigg[x^3+6x^3\cdot\ln(x))\bigg]_1^3\\ &= \frac{1}{9}\bigg[x^3(\,1+6\cdot\ln(x))\bigg]_1^3\\ \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #13
08. april 2023 af M2023

#11 . Problemet er, at jeg kan ikke se hvordan ( 1 + 2 ln ( x )) bliver omformet til ( 1 + 6 ln ( x )) hvordan bliver tallet 2 til tallet seks mens at tallet et forbliver det samme ?

$\int_1^3 x^2 \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\;dx=$

$\left [ \left ( \int x^2\;dx \right )\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) ) \right ]_1^3-\int_1^3 \left ( \int x^2\;dx \right ) \cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )'\;dx=$

$\left [ \frac{1}{3}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\right ]_1^3-\int_1^3 \left ( \frac{1}{3}\cdot x^3 \right ) \cdot \left ( \frac{2}{x} \right ) dx=$

$\left [ \frac{1}{3}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )\right ]_1^3-\int_1^3 \frac{2}{3}\cdot x^2\;dx=$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) ) \right ]_1^3 - \left [ \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3 =$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3\cdot ( 1 + 2\cdot ln (x) )- \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3=$

$\left [ \frac{3}{9}\cdot x^3 + \frac{6}{9} \cdot x^3 \cdot ln (x) )- \frac{2}{9}\cdot x^3 \right ]_1^3=$

$\left [ \frac{1}{9}\cdot x^3 + \frac{6}{9}\cdot x^3\cdot ln (x) ) \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ x^3\cdot (1+6\cdot ln (x)) \right ]_1^3=$

$\frac{1}{9}\cdot \left [ 27\cdot (1+6\cdot ln (3)) - 1 \right ]=22,66$

Svar #14
08. april 2023 af ca10

Tak for svaret

Nu kan jeg se hvordan arealet blver bestemt.

Skriv et svar til: Integralregning - beregn arealet, Vejen til Matematik A2, Opgave 276 b, Side 213, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.