Matematik

Vis, at (a,B)^T ∈R^2 er et punkt på cirklen

09. april 2023 af Sm0rt - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har fået stillet en opgave, som lyder:
"I denne opgave betragter vi en samling af punkter

$M=\left ((\frac{0}{2}),(\frac{2}{2}),(\frac{1}{0}),(\frac{1}{2}) \right )$

i $\mathbb{R}^2$ Målet er at bestemme den cirkel i $\mathbb{R}^2$ , der bedst muligt (i passende forstand) approksimerer punkterne i M. Punkterne på en cirkel med radius r og centrum i $(a,b)^T\epsilon \mathbb{R}^2$ er beskrevet som løsningerne til ligningen:

$((X-a)^2+(Y-b)^2=r^2$

Som er ækvivalent med:

$2aX+2bY+(r^2-a^2-b^2)=X^2+Y^2$

Sæt nu:

$v=\begin{pmatrix} 2a\\ 2b\\ r^2-a^2-b^2 \end{pmatrix}\epsilon \mathbb{R}^3$ .

1) Vis, at $(\alpha ,\beta )^T\epsilon \mathbb{R}^2$ er et punkt på cirklen beskrevet ved (??) hvis og kun hvis $(\alpha\ \ \beta\ \1)\cdot v=\alpha^2+\beta ^2$

2) Konkluder, at punkterne i M ligger på cirklen beskrevet ved (??) hvis og kun hvis v er en løsning til det lineære ligningssystem

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot x=\begin{pmatrix} 4\\ 8\\ 1\\ 5 \end{pmatrix}$

3) Bestem en mindste kvadraters løsning til (??).

4) Bestem den cirkel i $\mathbb{R}^2$ der med rimelighed kan opfattes som den bedste approksimation til M."

Jeg har simpelthen set mig blind på min lærebogs forklaringer, så jeg er meget i tvivl om, hvordan jeg skal starte på opgaverne. Håber i kan hjælpe. Tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2023 af Anders521

#0 Der mangler vist oplysninger. Vedhæft et billede af opgaveteksten.

Svar #2
09. april 2023 af Sm0rt

Her er opgaven vedhæftet dog som pdf.

Vedhæftet fil:Opg3.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2023 af jl9

I opgave (1), hvad får du (α β 1)·v til at være?

Skriv et svar til: Vis, at (a,B)^T ∈R^2 er et punkt på cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.