Bestem arg(e^w) (A.2)

Vi har
e^w = e·e^{- i} = e·(cos(- 1) + i·sin(- 1))
Da får vi
arg(e^w) = - 1  eller som positivt argument    2π - 1

Det er rigtigt, at
|e^w| = e

A1:

w = 1 - i = √2·(cos(- ^π/₄) + i·sin(- ^π/₄))
|w| = √2         arg(w) = - ^π/₄ = 2π - ^π/₄ = ^7π/₄ 

Hvordan kommer du fra  e·e- i til e·(cos(- 1) + i·sin(- 1))? forstår ikke helt sammenhængen. Samme gælder springet fra arg(w) = - π/4 til 2π - π/4. -1 er rigtigt ja, men det samme kan ikke siges om  7π/4 (ifølge facit) 

Tak)

#2

A1:

w = 1 - i = √2·(cos(- ^π/₄) + i·sin(- ^π/₄))
|w| = √2         arg(w) = - ^π/₄ = 2π - ^π/₄ = ^7π/₄ 

Hvordan kommer du fra  e·e- i til e·(cos(- 1) + i·sin(- 1))? forstår ikke helt sammenhængen. Samme gælder springet fra arg(w) = - π/4 til 2π - π/4. -1 er rigtigt ja, men det samme kan ikke siges om  7π/4 (ifølge facit) 

Tak)

e^{1 - i} = e¹e^{- i}     Potensreglen gælder også for komplekse tal.
Vi har generelt
e^ix = cos(x) + i·sin(x)
Gang med e på begge sider og sæt x = - 1
Modulus og argument kan herefter aflæses direkte.
A1:     I øvrigt er argumentet  - ^π/₄ = ^7π/₄  rigtigt.
Der stilles ingen krav om, at argumentet skal være positivt.

#5

e^{1 - i} = e¹e^{- i}     Potensreglen gælder også for komplekse tal.
Vi har generelt
e^ix = cos(x) + i·sin(x)
Gang med e på begge sider og sæt x = - 1
Modulus og argument kan herefter aflæses direkte.
A1:     I øvrigt er argumentet  - ^π/₄ = ^7π/₄  rigtigt.
Der stilles ingen krav om, at argumentet skal være positivt.

Tak for forklaringen på A.1. :)

Jeg er stadig lidt lost på A.2, og har kun forstået følgende:

e*e^-i = e*(cos(-1)+i*sin(-1))

Herfra ved jeg så ikke hvordan vi skal trylle det om til -1. Du siger at vi skal gange med e, men jeg kan ikke helt se hvordan det skulle løse noget. Ville du have mulighed for at forklare det step by step igen på en anden måde?

Mange tak! )

For  e^ix  er koefficienten til i lig med x, altså x = - 1 rad
Denne vinkel, - 1 rad, indsættes for x i den generelle formel  e^ix = cos (x) + i·sin(x)
Men vi skal også have modulus e med, så vi ganger med e, så ligningen fremstår fuldstændigt.
Der er ikke noget trylleri med skjulte kaniner i hatten.  - 1 angiver blot buen/vinklen på enhedscirklen
fra (1 , 0) regnet i negativ omløbsretning. Det er vinklen (¹⁸⁰/_π)º med x-aksen i IV kvadrant.
 

# 7

En lille skønhedsfejl har indsneget sig i første linje:
x er ikke koefficient til i, - det er i, der er koefficient til x.
En koefficient er en konstant, der lægger sig til en variabel, og i er jo ingen variabel men en konstant.

e^{a + bi} = e^a(cos(b) + i·sin(b))          ∧    a, b ∈ R                       ⇔
|e^{a + bi}| = e^a    ∧    arg(e^{a + bi}) = b   ∧    b er periodisk med 2π