Matematik

Droner og kurvelængde, Vejen til Matematik A2, Opgave 296, Side 215, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

21. august 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 296

To drenge leger med deres droner og diskuterer hvad der vil give den kortest bane over naboens hus. Dronen skal starte i ( 0 , 0 ) og lande i ( 120, 0 ). Det vil naturligvis være to rette linjer, der mødes på huset tagrygning.

Jeg har vedhæftet et dokument, med opgaveteksten og hvor man kan se tegningen af dronens bane over naboens hus, og facitliste.

a) Hvor lang vil denne bane være.

Mit forsøg:

Jeg anvender Pyhtagoras sætning til at bestemme den rette linje.

Den hosligende side er 60 og den modstående side 20 (Se tegningen i det vedhæftede dokument) I opgave teksten mangler måleenheden, men der er underforstået m.

a² + b^2₌ c²

60² (m)²+ 20² (m)²= c ² (m)²

c² = 3600 m² + 400 m²

c² = 4000 (m)²

c = √ ( 4000 ) = 63,2 m

Det samme som facitlisten side 395. 63,2 m.

b) Hvor lang vil den på tegningen skitserede parabelbane være ?

Mit forsøg.

PÅ det vedhæftede dokument er der et eksempel fra Vejen til Matematik B2 side 149, hvor de viser funktionen for en parabelbane, jeg har brugt deres eksempel til at bestemme en funktion f for parabelbanen således:

y = ax² + b

a = - 1/20 og b = 20 som indsættes i y:

y = (- 1 / 20) x² + 20

Mit spørgsmål er, er den funktionen f som jeg har bestemt er den rigtig ?

Her skal man bestemme parabelbanen (kurvelængde)

b 120

K_l = ∫ √ ( 1 + ( f^' ( x ) )² dx = ∫ √ ( 1 + ( (- 1 / 20) x² + 20 )' )2 dx =

a 0

120 120

= ∫ √ ( 1 + ( (- 2 / 20) • (x ) )² dx = ∫ √ ( 1 + ( (- 1/ 10) • (x ) )2 dx =

0 0

120

= ∫∫ √ ( 1 + (- 1/ 100) • x² )dx = [ ? ]

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man længden af af den skitserede parabelbane ?

( Facitlisten side 395. 128,4 m )

c. Hvad vil længden være, hvis den skitserede bane er en sinuskurve ?

Mit spørgsmål er, hvordan man bestemmer den skitserede banes længde hvis den er en sinuskurve, for jeg har ingen anelse om hvordan man skal løse opgave c.

Facitlisten side 395, 127,8 m

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 295 Parabelbane.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. august 2023 af StoreNord

https://www.google.com/search?q=l%C3%A6ngde+af+en+graf&oq=l%C3%A6ngde+af+en+graf&aqs=chrome..69i57j0i22i30j0i15i22i30.11153j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8#fpstate=ive&vld=cid:5f11bc06,vid:kZAiQoseeG0

Svar #2
21. august 2023 af ca10

Tll opgave c

I Vejen til Matematik A2 side 79 er der et afsnit om sinuskurver generelt.

Her står den generelle forskrift for en sinuskurve ser således ud:

f ( x ) = a • sin ( bx + c ) + d eller y = A • sin • (wt + φ)

Konstanten a eller A, der kaldes amplituden, angiver det maksimal udsving fra denne linje.

Så det maksimale udsving som parabelbanen som droner bevæger sig over naboens hus antager jeg at

a = 20

Det stykke, en svingning fylder på x - aksen, kaldes svingningens periode og betegnes med T. Konstanten b eller w, der kaldes vinkelfrekvensen, der angiver antallet af svingninger på 2π på x - aksen. Mellem T og b er der følgende sammenhæng:

b = 2π / T eller w = 2π / φ

Parabelbanen eller sinusfunktionen går i gennem punkterne ( 0 , 0), ( 60, 20 ) og ( 120, 0)

T er svingningens periode.(120, 0 )

b er vinkelfrekvensen:

b = 2π / T ⇔ b = ( 2π / 0,5 ) / 120 = 4π / 120 = 0,1047

Da parabelbanen ikke skubbet opad i y - aksen så mener jeg at d = 0

Som jeg tolker parabelbanen på tegningen er parabelbanen ikke er forskudt i x -aksens retning så jeg sætter

c = 0.

Så jeg tror at den skitserede bane som er en sinuskurve har funktionen

f ( x ) = 20 • sin( 0,1047x )

Så er kurvelængden

120 120

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )² dx = ∫ √ ( 1 + (20 • sin( 0,1047x ) )' )² dx = ?

0 0

Mit spørgsmål er, er ovenstående rigtig, hvis ikke hvordan bestemmer man så parabelbanen som en sinuskurve ?.

På forhånd tak

Svar #3
21. august 2023 af ca10

Til svar # 1 StoreNord

Det er ikke muligt at tyde svaret.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. august 2023 af ringstedLC

Vedhæftet fil:ScreenShot_20230821213459.png

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. august 2023 af ringstedLC

a) Facit: 63.2 m. kan ikke være rigtigt, da:

$\begin{align*} c=\sqrt{60^2+20^2} &= \frac{L_{ret}}{2} \\ L_{ret} &= 2\,\sqrt{4000}\,\textup{m} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. august 2023 af ringstedLC

Vedhæftet fil:ScreenShot_20230821200454.png

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. august 2023 af ringstedLC

I det viste eksempel har parablen sit toppunkt (0, 20) på y-aksen: Din parabel skal have det i (60, 20):

Forskrift med toppunkts-formlen:

$\begin{align*} y &= a\cdot (x-h)^2+k\;,\;T=(h,k) &&\textup{formel (74)} \\\textup{Parablen g\aa r igennem\,}(0,0):\\ 0 &= a\cdot (0-60)^2+20\;,\;T=(60,20) &&\Rightarrow a=... \\ x_T=60 &= \frac{-b}{2a} \Rightarrow b=-120a \\ b &= ...\\y &= a\,x^2+b\,x\;,\;0\leq x\leq 120 \end{align*}$

Eller forskrift med rod-formlen:

$\begin{align*} f(x)=y &= a\cdot (x-r_1)\cdot(x-r_2) &&\textup{formel (80)} \\ a &= \frac{y}{(x-r_1)\cdot(x-r_2)} \\\textup{Parablens r\o dder}: r_1 &= 0\;,\;r_2=120 \\ a &= \frac{20}{(60-0)\cdot (60-120)}\;,\;\bigl(x_T,y_T\bigr)=(60,20) &&\Rightarrow a=... \\ x_T=60 &= \frac{-b}{2a} \Rightarrow b=-120a \\ b &= ...\\y &= a\,x^2+b\,x\;,\;0\leq x\leq 120 \end{align*}$

Kurvelængde:

$\begin{align*} L_{par} &= \int_0^{120}\!\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^{120}\!\sqrt{1+\bigl(2a\,x+b\bigr)^2}\,\mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. august 2023 af ringstedLC

Du er kommet godt igang med den harmoniske svingning.

Men T er længden af en hel svingning. Så her er T = 2 · 120, da dronens bane kun er en halv svingning. Sinus_maks = 1 · 20 ligger så lodret over tagryggen.

$\begin{align*} b=\omega &= \frac{2\,\pi}{T} \\ &= \frac{2\,\pi}{2\cdot 120}=\frac{\pi}{120} \\ f(x) &= 20 \cdot \sin\left (\tfrac{\pi}{120}\,x \right )\;,\;0\leq x\leq 120 \end{align*}$

Bemærk: Der bruges den eksakte- og ikke en numerisk værdi.

Kontrol:

$\begin{align*} f(0)=f(120) &= 20 \cdot \sin\left (\tfrac{\pi}{120}\cdot 0 \right ) &&= 20 \cdot \sin\left (\tfrac{\pi}{120}\cdot 120 \right ) \\ &= 20 \cdot \sin\left (0 \right ) &&= 20 \cdot \sin\left (\pi \right )&&=0 \\ f(60) &= 20 \cdot \sin\left (\tfrac{\pi}{120}\cdot 60 \right ) \\ &= 20 \cdot \sin\left (\tfrac{\pi}{2} \right ) &&=20\cdot 1&&=20 \end{align*}$

Kurvelængde:

$\begin{align*} L_{sin} &= \int_0^{120}\!\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^{120}\!\sqrt{1+\tfrac{\pi}{6}\cdot \cos\!\left ( \tfrac{\pi}{120}\,x \right )}\,\mathrm{d}x \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
22. august 2023 af ringstedLC

Til sammenligning:

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #10
22. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Svar #11
28. august 2023 af ca10

Til Svar # 8, ringstedLC

Jeg har forstået at der skal bruges CAS til at bestemme kurvelængden .

Mit spørgsmål er, hvilket CAS skal der bruges til at bestemme kurvelængden ?

Jeg har kun TI - 89 Titanium til rådighed, kan det bruges, hvis det ikke kan bruges, hvor for man fat i det CAS ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #12
28. august 2023 af StoreNord

Brug Geogebra, som ringstedLC gør i #9.
Det er også CAS og ganske gratis og det kan hentes fra Geogegebra.org eller bruges online samme sted.

Svar #13
28. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Droner og kurvelængde, Vejen til Matematik A2, Opgave 296, Side 215, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.