Matematik

Skæringslinien mellem to planer (Emne vektorer i rummet).

20. september 2023 af Hjælpemigplease - Niveau: A-niveau

Er der nogen, der kan forklare mig (med mellemregninger), hvordan man er kommet fra planens ligninger til to ligninger med to ubekendte til at løse dem med determinatmetoden.

Se vedhæftede dokument for flere oplysninger.

Vedhæftet fil: Løsning med determinatmetoden.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \begin{pmatrix} x\\\\y \\\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\\\ \frac{c_1\cdot d_2-c_2\cdot d_1}{b_1\cdot c_2-b_2\cdot c_1} \\\\ \frac{b_2\cdot d_1-b_1\cdot d_2}{b_1\cdot c_2-b_2\cdot c_1} \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\\\\frac{a_2\cdot c_1-a_1\cdot c_2}{b_1\cdot c_2-b_2\cdot c_1} \\\\ \frac{b_2\cdot a_1-b_1\cdot a_2}{b_1\cdot c_2-b_2\cdot c_1} \end{pmatrix} &&t\in\mathbb{R}\end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. september 2023 af mathon

Kender du determinantmetoden?

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2023 af mathon

på formen

$\small \begin{array}{lllllll} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\\\\\\ x=\frac{\begin{vmatrix} c_1 &b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2 &b_2 \end{vmatrix}}\\\\\\ y=\frac{\begin{vmatrix} a_1 &c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 &b_1 \\ a_2 &b_2 \end{vmatrix}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. september 2023 af mathon

som når ligningerne
er:

$\small \small \begin{array}{lllllll} b_1\cdot y+c_1\cdot z=-a_1\cdot t-d_1\\ b_2\cdot y+c_2\cdot z=-a_2\cdot t-d_2\\\\\textup{bliver}\\\\& y=\frac{\begin{vmatrix} -a_1\cdot t-d_1 &c_1 \\ -a_2\cdot t-d_2 & c_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} b_1 &c_1 \\ b_2 &c_2 \end{vmatrix}}\\\\\\ &z=\frac{\begin{vmatrix} b_1 &-a_1\cdot t-d_1 \\ b_2 & -a_2\cdot t-d_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} b_1 &c_1 \\ b_2 &c_2 \end{vmatrix}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september 2023 af mathon

endvidere basisviden:

$\small \small \begin{vmatrix} p &r \\ q &s \end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r$

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. september 2023 af M2023

#0. Determinantmetoden versus krydsprodukt. Lad os sige, at du har to planer, som skærer hinanden: α: a₁·x + b₁·y + c₁·z + d₁ = 0 og β: a₂·x + b₂·y + c₂·z + d₂ = 0. Disse planer har normalvektorerne: n_α = (a₁, b₁, c₁) og n_β = (a₂, b₂, c₂). En retningsvektor for skæringslinjen er n_α × n_β.

Lad os sige, at alle koordinater i vektoren n_α × n_β er forskllig fra 0. Dermed skærer linjen yz-planen, der har ligningen x = 0. Man kan derfor finde et punkt på linjen ved at sætte x = 0 i ligningerne for det to planer: b₁·y + c₁·z + d₁ = 0 ∧ b₂·y + c₂·z + d₂ = 0. Dette er to sammenhørende ligninger i y og z, som kan løses med determinant-metoden som nævnt ovenfor.

Vektoren n_α × n_β kan også skrives ved hjælp af determinanter:

$\textbf{n}_\alpha \times \textbf{n}_\beta =\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\c_1 & c_2 \end{vmatrix} \\ \\ -\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\c_1 & c_2 \end{vmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1c_2-c_1b_2 \\c_1a_2-a_1c_2 \\a_1b_2-b_1a_2 \end{pmatrix}$

Dermed hænger derterminant-metoden og krydsprodukt-metoden sammen. Man skal selvfølgelig huske, at man ikke må dividere med en determinant, der er lig med 0.

Skriv et svar til: Skæringslinien mellem to planer (Emne vektorer i rummet).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.