Matematik

cirklen

10. november 2023 af Simlars - Niveau: A-niveau

har brug for hjælp til denne opgave

Vedhæftet fil: Billede1.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. november 2023 af MentorMath

I a) skal vi omskrive ligningen til formen (x-x₀)² + (y-y₀)² = r².

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. november 2023 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2023 af MentorMath

Vh.a. kvadratsætningerne.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-11-10 203450.png

Svar #4
10. november 2023 af Simlars

kan nogen finde ud af b

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. november 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} x(t)=0+t\;&,\;y(t)=-2-t \\ x(t)^2-2x(t)+y(t)^2+6y(t)+8 &= 0 \\ t &= \left\{\begin{matrix}t_1\\t_2\end{matrix}\right. \\ S_1=\binom{x(t_1)}{y(t_1)}\;&,\;S_2=\binom{x(t_2)}{y(t_2)} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. november 2023 af MentorMath

Ja, jeg har forsøgt at vise udregningen og metoden på billaget her (med forbehold for, at jeg ikke har lavet nogen regnefejl).

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-11-10 205848.png

Svar #7
10. november 2023 af Simlars

kan i beskrive det

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. november 2023 af MentorMath

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-11-10 210229.png

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. november 2023 af MentorMath

Vi omskriver linjen givet ved parameterfremstillingen til en ret linje skrevet på formen a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0.

Herefter får vi et udtryk for linjen på formen y = ax + b.

Vi kan nu indsætte udtrykket for linjen på y's plads i cirkelligningen. Vi får da en ligning vi kan løse for x, hvorved vi har fundet x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem linje og cirkel. Slutteligt bestemmes y-koordinaterne til hvert af skæringspunkterne, ved at de fundne x-værdier indsættes i udtrykket for linjen:)

Eller, som vist i #5, hvis du bedre kan lide den metode.

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. november 2023 af ringstedLC

eller

$\begin{align*} \binom{0}{-2}\,\textup{indsat i cirklens ligning}&:\\ 0^2-2\cdot 0+(-2)^2+6\cdot (-2)+8 &= 0&&\Rightarrow S_1=\binom{...}{...} \\ \left | \binom{1}{-1} \right | &= r &&\Rightarrow S_2=S_1+2\cdot \binom{1}{-1} \end{align*}$

Svar #11
10. november 2023 af Simlars

Mentormath hvorfor har du sgat -8 når der står +8 i ligningen

Brugbart svar (1)

Svar #12
10. november 2023 af ringstedLC

Metoden i #10 ses tydeligere ved at tegne cirklen og linjen.

Udregningerne i #6 og #8 har desværre en fortegnsfejl.

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. november 2023 af MentorMath

Ah, godt set! Det er en smutter, undskyld.. Det er svært, når jeg skriver det op på den måde, for skal skifte over til et andet vindue, når jeg skal skrive ligningen af. Men fuldstændig rigtigt set - ligningen hedder selvfølgelig +8. I så fald, så vidt jeg kan se, vil der kun være et skæringspunkt (0,2). Regner lige efter på det... Ellers så brug fremgangsmåden i #10. Synes jeg egentlig også er en smartere måde at gøre det på i sidste ende.

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. november 2023 af MentorMath

#12

Tak. Kunne godt være jeg snart skulle gå i seng, er vist ved at være træt ,:) Det går i hvert fald ikke så godt med de fortegn.

Svar #15
10. november 2023 af Simlars

kan du lave sådan en tegning igen med beregningerne mentormath

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. november 2023 af MentorMath

#15

Hej igen,

Ja, jeg kan godt rette beregningerne, hvis det er det, du spørger om. Nu har jeg tjekket det igennem, og nu burde der ikke være nogle smuttere.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-11-10 215437.png

Brugbart svar (0)

Svar #17
10. november 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} x^2-2x+y^2+6y+8 &= 0 \\ x^2-2x+1^2+y^2+6y+3^2 &= -8+1^2+3^3 \\ (x-1)^2+(y+3)^2 &= \sqrt{2}^{\;2} &&\Rightarrow \left\{\begin{matrix} C&=(1,-3)\\ r&=\sqrt 2\quad\;\; \end{matrix}\right. \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #18
10. november 2023 af ringstedLC

b) som i #5

$\begin{align*} x(t)^2-2x(t)+y(t)^2+6y(t)+8 &= 0 \\ t^2-2t+(-2-t)^2+6\cdot(-2-t)+8 &= 0 \\ 2\,t^2-4\,t &= 0 \\t^2 &= 2\,t \Rightarrow \left\{\begin{matrix}t_1=0\\t_2=2\end{matrix}\right. \\ S_1=\binom{x(t_1)}{y(t_1)}=\binom{0}{-2} \;&,\;S_2=\binom{x(t_2)}{y(t_2)}=\binom{2}{-4} \end{align*}$

b) som i #10

$\begin{align*} 0^2-2\cdot 0+(-2)+6\cdot (-2)+8 &= 0 \\ 0 &= 0 &&\Rightarrow S_1=\binom{0}{-2} \\ \left | \binom{1}{-1} \right |=r &= \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt 2 \\ &&&\Rightarrow S_2=\binom{0}{-2}+2\cdot \binom{1}{-1} \\ &&&\Rightarrow S_2=\binom{2}{-4} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #19
10. november 2023 af ringstedLC

Parameterfremstilling omskrevet til ligning:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{1}{a} &&\Rightarrow y=a\bigl(x-x_0\bigr)+y_0 \\ &= \binom{0}{-2}+t\cdot \binom{1}{-1} &&\Rightarrow y=(...) \\ \textup{Indsat i cirklens ligning}:\\ r^2 &= \bigl(x-x_C\bigr)^2+\bigl(y-y_C\bigr)^2 \\ 2 &= \bigl(x-1\bigr)^2+\bigl((...)+3\bigr)^2 &&\Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right. \\ S_1=\binom{x_1}{y_1}\;&,\;S_2=\binom{x_2}{y_2} \end{align*}$

Skriv et svar til: cirklen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.