Populationen af grønne rovmyrer, Vejen til MatematikA2, Opgave 316, Side 245,( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Opgave 316

Opgave 316
For en population af grønne rovmyrer antages det, at populaionens størrelse N afhænger af tiden t målt i døgn som beskrevet ved denne differentialligning:

    dN
------------ =  5,2 • 10^-4 N ( 500 - N )
      dt
a) Bestem populationens væksthastighed til dette tidspunkt, hvor der er 100 myrer.

(Se evt vedhæftede fil med opgaveteksten fra side 245 og facit fra facitlisten side 395)

Mit forsøg:

Jeg indsætter N = 100

 dN
------- =  5,2 • 10^-4 • 100 • ( 500 - 100 ) =20,8
  dt

Det samme som i facitlisten side 395.

Efter 20 døgn er der 200 myrer i populationen.
b) Bestem en forskrift for N som funktion af t.

Mit forsøg:

I Matematisk formelsamling Gymnasiet  Matematisk Linje 3-årigt Forløb Til A-niveau side 35

står der følgende:

Ligning                                     Løsning

dy / dx = ay (M - y)              y =   M / 1 + ce^-aMx

Hvis jeg omskriver den løsning til opgave 316

                     M

y = --------------------------  så kan den omskrives til:

              1 + ce^- aMx

                        M                                 

N ( t ) = ------------------------

               1 + ce^{- a • M  • t}   

Jeg sætter

 a = 5,2 • 10^-4

Antal grønne rovmyrer: M = 200

Tiden: t  =  20

Jeg indsætter i løsningen og bestemmer konstanten c

                       500

200 = ------------------------------------------

             _{1 + ce}- 5,2 • 10^-4 •500  • 20   

_{200 • ( 1 + ce}- 5,2 • ^{₁₀-4 _{• 500  • 20}} ) _{= 500}

_{200 + 200 •  c • e}- 5,2 • 10^{-4 • 500  • 20} = 500

_{200 •  c • e}- 5,2 • 10^{-4 _{• 500  • 20}}  =   500 - 200

               ( 500 - 200 )

c = -----------------------------------  =  271,9083

        200 • e -5,2 • 10 -4 • 500 • 20

Jeg indsætter tiden t = 1 og c  = 271,9083 i løsningen:

                                  500                                                         500

N ( t ) =  ------------------------------------------------------ =  -----------------------------------------

                _{1 +  271,9083 • e} -5,2 • 10 ^{-4 _{• 500 • t}}                     1 + 271,9083 • 1,29693^-t 

Det passer med facitlisten side 395

Mit spørgsmål er, for selvom at min bestemmelse af en forskrift for N for populationen størrelse som funktion af tiden passer med facitlisten, er min fremgangsmåde til at bestemme den forskrift, er den korrekt foretaget ?.

På forhånd tak