Matematik

tangent til cirkel

13. december 2025 af Hansen0708 - Niveau: A-niveau

Hejsa, jeg har fået en aflevering for i matematik, dog mangler at gennemgå nogle ting i det emne vi har om lige pt. Jeg har derfor svært ved at svare på de sidste opgaver i afleveringen. Dette er den ene opgave:

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-12-13 kl. 20.06.31.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2025 af SuneChr

         a)   Centrum er (3 , 5) og radius 5.
               Centrum ligger en radius enhed fra førsteaksen, som så må være
               tangent til cirklen.

b) og c)   Benyt tangentligningen for en cirkel. Den må du kunne finde
               i formelsamlingen.
               Tangenterne skal have samme hældningskoefficient som linjen m.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. december 2025 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. december 2025 af ringstedLC

b) + c)

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. december 2025 af ringstedLC

b) Røringspunkterne skal opfylde:

$\begin{align*} \bigl(x-x_C\bigr)^2+\bigl(y-y_C\bigr)^2=25\quad &\wedge\quad y=-\tfrac{1}{a_m}\cdot\bigl(x-x_C\bigr)+y_C \\ \bigl(x-x_C\bigr)^2+\Bigl(\,\underset{=\,y}{\underbrace{-\tfrac{1}{a_m}\cdot\bigl(x-x_C\bigr)+y_C}}-y_C\Bigr)^2 &= 25 \quad\Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}x_{R_1} \\ x_{R_2} \end{matrix}\right. \\ \bigl(x_{R_1}\,,y_{R_1}\bigr) &= \bigl(...\,,...\bigr) \\ \bigl(x_{R_2}\,,y_{R_2}\bigr) &= \bigl(...\,,...\bigr) \end{}$

$\begin{align*} y &= f'(x_0)\cdot\bigl(x-x_0\bigr)+f(x_0) &&,\;\textup{Formel (130)} \\ t_{R_2}:y &= a_m\cdot\bigl(x-x_{R_2}\bigr)+y_{R_2} \end{}$

Svar #5
14. december 2025 af Hansen0708

Jeg ved ikke om det bare er mig der ikke forstår det overhovedet, altså b og c, det giver bare ikke helt mening ift det vi har haft om vektorer og cirkler

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. december 2025 af mathon

Radius står vinkelret på tangenten i røringspunktet,
hvorfor produktet af hældningstallene for tangenten og linjen gennem røringspunktet og centrum er -1:

$\begin{array}{lllllll} \frac{4}{3}\cdot \beta =-1\\\\ \beta =-\frac{3}{4} \end{}$

En ligning for linjen gennem
røringspunktet og centrum
er:

$\begin{array}{lllllll} y-y_C=-\frac{3}{4}\cdot (x-x_{C})\\\\ y-5=-\frac{3}{4}\cdot (x-3)\\\\ y=-\frac{3}{4}(x-3)+5 \end{}$

som indsat i cirklens ligning til bestemmelse at mulige røringspunkters førstekoordinater
giver:

$\begin{array}{lllllll} (x_o-3)^2+(-\frac{3}{4}\cdot (x-3)+5-5)^2=25\\\\ (x_o-3)^2+(-\frac{3}{4}(x-3)+5-5)^2=25 \end{}$

$\begin{array}{lllllll} (x_o-3)^2+(-\frac{3}{4}\cdot (x_o-3)+5-5)^2=25\\\\ (x_o-3)^2+\left(-\frac{3}{4}(x_o-3\right)+5-5)^2=25\\\\ (x_o-3)^2+\frac{9}{16}(x_o-3)^2=25\\\\ \frac{25}{16}\cdot (x_o-3)^2=25\\\\ (x_o-3)^2=16\\\\ |x_o-3|=4\\\\\\ x_o<3\\\qquad\qquad -(x_o-3)=4\\ \qquad \qquad x_o=-4+3=-1\\\\\\ x_o>3\\\qquad\qquad x_o-3=4\\ \qquad \qquad x_o=4+3=7\\\\\\ x_o=\left\{\begin{matrix}-1\\7 \end{} \right. \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. december 2025 af ringstedLC

#5 Cirklens periferi er de punkter, der opfylder dens ligning. Og linjerne for tangenterne er de punkter, der opfylder deres ligninger.

Et røringspunkt skal derfor opfylde to ligninger, cirklens- og en af tangenternes ligning. Eller som det ses på figuren i #3, cirklens- og de to tangenters normal m' gennem centrum.

b) Alternativ:

$\begin{align*} m: y &= \tfrac{4}{3}\,x \\ -\tfrac{4}{3}\,x+y &= 0 \quad\Rightarrow\quad\;\;\, 4\,x-3y=0 &&\Rightarrow\vec{\,n}_m &&\!= \binom{4}{-3}=\vec{\,r}_{m'} \\ -\tfrac{4}{3}\,x+y &= 0 \quad\Rightarrow\quad -4\,x+3y=0 &&\Rightarrow\vec{\,n}_m &&\!= \binom{-4}{3}=\vec{\,r}_{m'} \\ &&&\Rightarrow\bigl|\vec{\,n}_{m}\bigr| &&\!= \left\{\begin{matrix}\sqrt{4^2+(-3)^2} \\\sqrt{(-4)^2+3^2} \end{}\;\right. \\ &&&\Rightarrow\bigl|\vec{\,n}_{m}\bigr| &&\!= 5=r \\ \Rightarrow\begin{pmatrix}x_{R_n}\\y_{R_n}\end{} &= \left\{\begin{matrix} \begin{pmatrix}x_{R_1}\\y_{R_1} \end{} &= \begin{pmatrix}x_C-4\\y_C+3\end{}=\begin{pmatrix}-1\\8\end{} \\ \begin{pmatrix}x_{R_2}\\y_{R_2} \end{} &= \begin{pmatrix}x_C+4\\y_C-3 \end{}=\begin{pmatrix}7\\2\end{} \end{}\right. \end{}$

c) Alternativ:

$\begin{align*} \vec{\,n}_{t_2} &=\binom{a_n}{b_n}=\binom{4}{-3} \\ t_2:0 &= a_n\,\bigl(x-x_{R_2}\bigr)+b_n\,\bigl(y-y_{R_2}\bigr) \\ 0 &= 4\cdot\bigl(x-7\bigr)-3\cdot\bigl(y-2\bigr) \\ 0 &= 4\,x-3\,y-22 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. december 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \end{}$ $\begin{array}{lllllll} \textbf{c)}\\ \end{}$

Røringspunktet "længst til højre" har førstekoordinat 7.

Punktet er fællespunkt mellem cirklen og linjen gennem centrum og røringspunkt
og skal derfor tilfredsstille ovenfor fundne ligning:

$\begin{array}{lllllll} y=-\frac{3}{4}\cdot (7-3)+5 \end{}$
dvs.
$\begin{array}{lllllll} y=-\frac{3}{4}\cdot 4+5=2 \end{}$

Det søgte røringspunkt har kordinatsættet (xo,yo) = (7,2)

og tangentligning:

$\begin{array}{lllllll} y=\frac{dy}{dx}\cdot (x-x_o)+y_o\\\\ y=\frac{4}{3}\cdot (x-7)+2\\\\ y=\frac{4}{3}x-\frac{22}{3} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. december 2025 af mathon

Helt i overenstemmelse med #3, #4 og #7.

Skriv et svar til: tangent til cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.